mathématiques (PCSI) · Chapitre 15 · Exercice de TD

Le modèle à six directions : décorrélées sans être indépendantes

Probabilités sur un univers fini · D. Espérance, variance, covariance · niveau 2

Énoncé

Dans le modèle le plus simple de la théorie cinétique des gaz, la vitesse $V$ d'une molécule a pour norme $c > 0$ et une direction tirée uniformément parmi les six directions $\pm e_{x}$ , $\pm e_{y}$ , $\pm e_{z}$ ; on note $V_{x}$ , $V_{y}$ , $V_{z}$ ses composantes.

a) Donner la loi de $V_{x}$ ; calculer $E (V_{x})$ et $E (V_{x}^{2})$ . On appelle vitesse quadratique moyenne le réel $u = E (V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2})$ ; montrer que $E (V_{x}^{2}) = \frac{u ^{2}}{3}$ .

b) Calculer $Cov (V_{x}, V_{y})$ . Les variables $V_{x}$ et $V_{y}$ sont-elles indépendantes ?

c) Calculer $Cov (V_{x}^{2}, V_{y}^{2})$ et interpréter son signe.

d) Calculer $V (V_{x} + V_{y})$ de deux façons.

e) Plus généralement, soit $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ un triplet de variables aléatoires réelles tel que $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ , $(V_{y}, V_{z}, V_{x})$ et $(- V_{x}, V_{y}, V_{z})$ aient la même loi : c'est l'isotropie. Montrer que $E (V_{x}) = 0$ et que $E (V_{x}^{2}) = \frac{1}{3} E (V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2})$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de transfert, valable pour les triplets ; $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ ; la variance d'une somme ; et : si $X$ et $Y$ ont la même loi, alors $f (X)$ et $f (Y)$ aussi. La stratégie : le triplet $(V_{x}, V_{y}, V_{z})$ ne prend que six valeurs, $(\pm c, 0, 0)$ , $(0, \pm c, 0)$ et $(0, 0, \pm c)$ , chacune avec probabilité $\frac{1}{6}$ ; tout se lit sur ce tableau à six lignes.

a) La loi de $V_{x}$ . La composante $V_{x}$ vaut $c$ pour la seule direction $+ e_{x}$ , $- c$ pour la seule direction $- e_{x}$ , et $0$ pour les quatre autres : $P (V_{x} = c) = P (V_{x} = - c) = \frac{1}{6}, P (V_{x} = 0) = \frac{2}{3} .$ Par la formule de transfert, $E (V_{x}) = \frac{c}{6} - \frac{c}{6} = 0$ et $E (V_{x}^{2}) = \frac{c ^{2}}{6} + \frac{c ^{2}}{6} = \frac{c ^{2}}{3}$ . Pour chacune des six directions, une seule composante est non nulle et vaut $\pm c$ : la variable $V_{x}^{2} + V_{y}^{2} + V_{z}^{2}$ est constante, égale à $c^{2}$ . Donc $u^{2} = c^{2}$ et $E (V_{x}^{2}) = \frac{u ^{2}}{3}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Calculer $Cov (V_{x}, V_{y})$ . Les variables $V_{x}$ et $V_{y}$ sont-elles indépendantes ?

Élève

Pour b), les trois composantes jouent des rôles symétriques et semblent sans lien, donc je partirais sur « indépendantes ». Mais je ne sais pas comment le démontrer proprement.

Avant de démontrer, teste la définition : il faudrait $P (V_{x} = a, V_{y} = b) = P (V_{x} = a) P (V_{y} = b)$ pour tous $a$ et $b$ . Si tu sais que $V_{x} = c$ , que peux-tu dire de $V_{y}$ ?

Élève

Si $V_{x} = c$ , la direction est $+ e_{x}$ , donc $V_{y} = 0$ forcément. L'événement $(V_{x} = c, V_{y} = c)$ est donc impossible.

Compare avec le produit $P (V_{x} = c) P (V_{y} = c)$ calculé grâce au a) : que conclus-tu ? Et pour la covariance, quelles valeurs prend la variable $V_{x} V_{y}$ sur les six directions ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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