Loi conjointe et marginales

Probabilités sur un univers fini · C. Lois, couples, indépendance · niveau 2

Énoncé

On tire au hasard un nombre $X \sim U ({1, 2})$ puis, indépendamment, $Y \sim U ({1, 2})$ , et l'on pose $S = X + Y$ , $M = max (X, Y)$ . Donner la loi conjointe de $(S, M)$ , puis ses marginales. $S$ et $M$ sont-elles indépendantes ?

Corrigé

Les quatre issues $(X, Y)$ sont équiprobables ( $\frac{1}{4}$ ). On en déduit le tableau de la loi conjointe de $(S, M)$ :

$P (S = 2, M = 1) = \frac{1}{4} (issue (1, 1)), P (S = 3, M = 2) = \frac{1}{2} (issues (1, 2), (2, 1)),$

$P (S = 4, M = 2) = \frac{1}{4} (issue (2, 2)),$

toutes les autres cases étant nulles. Marginales : $P (S = 2) = \frac{1}{4}$ , $P (S = 3) = \frac{1}{2}$ , $P (S = 4) = \frac{1}{4}$ ; $P (M = 1) = \frac{1}{4}$ , $P (M = 2) = \frac{3}{4}$ .

Indépendance ? $P (S = 2, M = 2) = 0$ alors que $P (S = 2) P (M = 2) = \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \neq = 0$ : non — $S$ et $M$ sont liées (connaître la somme renseigne sur le maximum). Une seule case suffit à réfuter.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables