mathématiques (PCSI) · Chapitre 15 · Exercice de TD

Monty Hall, et l'animateur qui ne sait rien

Probabilités sur un univers fini · B. Conditionnement et formule de Bayes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Trois portes ; derrière l'une, une voiture ; derrière chacune des deux autres, une chèvre. Le joueur choisit une porte. L'animateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une autre porte, derrière laquelle il y a une chèvre, puis propose au joueur de changer de porte.

a) Modéliser la situation et montrer qu'en changeant de porte, le joueur gagne avec probabilité $\frac{2}{3}$ . Retrouver ce résultat par la formule de Bayes : le joueur ayant choisi la porte $1$ et l'animateur ayant ouvert la porte $3$ , quelle est la probabilité que la voiture soit derrière la porte $2$ ?

b) Même question si l'animateur, qui ignore où est la voiture, ouvre au hasard l'une des deux portes que le joueur n'a pas choisies, et qu'elle cache une chèvre.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Monty Hall n'est pas un paradoxe de calcul, c'est un paradoxe de modélisation. Tout repose sur ce que sait l'animateur : l'univers doit porter deux variables aléatoires, la porte $V$ de la voiture et la porte $H$ que l'animateur ouvre, et c'est la loi conditionnelle de $H$ sachant $V$ qui code le protocole.

a) Le modèle informé. Les portes jouant des rôles interchangeables, numérotons-les pour que le joueur ait choisi la porte $1$ . La voiture est placée au hasard : $V$ suit la loi uniforme sur ${1, 2, 3}$ . L'animateur ouvre une porte qui n'est ni celle du joueur, ni celle de la voiture. Le système complet $(V = 1)$ , $(V = 2)$ , $(V = 3)$ donne trois cas.

Si $V = 1$ , le joueur tient la voiture ; l'animateur a le choix entre les portes $2$ et $3$ , et l'on convient qu'il en ouvre une au hasard. En changeant, le joueur perd.
Si $V = 2$ , l'animateur ne peut ouvrir ni la porte $1$ , ni la porte $2$ : il est contraint d'ouvrir la porte $3$ . En changeant, le joueur prend la porte $2$ et gagne.
Si $V = 3$ , symétriquement, il est contraint d'ouvrir la porte $2$ , et le joueur, en changeant, gagne.

Notons $G$ l'événement « le joueur gagne en changeant ». La formule des probabilités totales donne $P (G) = i = 1 \sum 3 P (G ∣ V = i) P (V = i) = \frac{1}{3} (0 + 1 + 1) = \frac{2}{3} .$ Changer gagne si et seulement si le premier choix était mauvais, ce qui arrive avec probabilité $\frac{2}{3}$ .

La même chose par Bayes. Notons $H_{3}$ l'événement « l'animateur ouvre la porte $3$ » et $V_{i}$ l'événement « la voiture est derrière la porte $i$ ». Avec $P (H_{3} ∣ V_{1}) = \frac{1}{2}$ par la convention, $P (H_{3} ∣ V_{2}) = 1$ par la contrainte et $P (H_{3} ∣ V_{3}) = 0$ , les probabilités totales donnent $P (H_{3}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{2},$ et la formule de Bayes renverse le conditionnement, de l'observation vers la cause : $P (V_{2} ∣ H_{3}) = \frac{P ( H _{3} ∣ V _{2} ) P ( V _{2} )}{P ( H _{3} )} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3},$ tandis que $P (V_{1} ∣ H_{3}) = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$ . La convention ne change rien : si, dans le cas $V_{1}$ , l'animateur ouvrait la porte $3$ avec une probabilité $q$ quelconque, on aurait $P (H_{3}) = \frac{1 + q}{3}$ et $P (V_{2} ∣ H_{3}) = \frac{1}{1 + q} \geq \frac{1}{2}$ .

Où pèche le raisonnement qui conclut à $\frac{1}{2}$ . Il suppose les deux portes restées fermées « également probables ». Mais l'animateur n'ouvre pas au hasard : dans les cas $V = 2$ et $V = 3$ , qui pèsent $\frac{2}{3}$ , son geste est forcé par la position de la voiture, et il transmet de l'information — le rapport $2$ entre $P (H_{3} ∣ V_{2}) = 1$ et $P (H_{3} ∣ V_{1}) = \frac{1}{2}$ est celui des probabilités finales.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Même question si l'animateur, qui ignore où est la voiture, ouvre au hasard l'une des deux portes que le joueur n'a pas choisies, et qu'elle cache une chèvre.

Élève

Pour b), j'ai repris Bayes du a) en remplaçant seulement $P (H_{3} ∣ V_{2}) = 1$ par une probabilité d'un demi. Mais il faut aussi tenir compte du fait que la porte ouverte cache une chèvre, et je ne vois pas où le mettre.

C'est bien le point : l'observation n'est plus seulement « l'animateur ouvre la porte 3 ». Écris l'événement observé comme une intersection d'un événement sur $H$ et d'un événement sur $V$ . Et quel lien y a-t-il entre $H$ et $V$ quand l'animateur ne sait rien ?

Élève

L'événement observé, c'est $(H = 3) \cap (V \neq = 3)$ . Comme l'animateur choisit au hasard sans information, $H$ est indépendante de $V$ , donc la probabilité de cet événement est un produit.

Oui. Il te reste à calculer la probabilité de l'intersection de cet événement avec $(V = 2)$ : à quoi se simplifie-t-elle, et quel quotient donne alors la probabilité conditionnelle ? Que vaut, dans ce modèle, le conseil de changer de porte ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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