Problème — L'incertitude-type de type A et la correction de Bessel

On modélise $n\ge 2$ mesures indépendantes d'une même grandeur, de valeur « vraie » $m$, par des variables aléatoires réelles $X_1,\dots ,X_n$ indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance ${\sigma }^2>0$. On note $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ leur moyenne et $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2.$$ En physique, l'écart type $\sigma \left(\overline{X}\right)$ de la moyenne s'appelle l'incertitude-type (évaluation de type A) ; on dit qu'une variable aléatoire $T$ est un estimateur sans biais d'un réel $\theta$ si $E(T)=\theta$.

1) Calculer $E\left(\overline{X}\right)$ et $V\left(\overline{X}\right)$ ; en déduire l'incertitude-type $\sigma \left(\overline{X}\right)=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$. Combien de mesures faut-il pour la diviser par $10$ ?

2) Montrer que $P\left(\right|\overline{X}-m|\ge k\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\le \frac{1}{k^2}$ pour tout $k>0$. Que garantit-on pour $k=2$ ? (Les physiciens annoncent $95\%$ en supposant une loi normale, qui n'est pas au programme : Tchebychev ne promet que $75\%$, mais sans aucune hypothèse sur la loi.)

3) Pour $i$ fixé, calculer $\mathrm{Cov}(X_i,\overline{X})$, puis $V(X_i-\overline{X})$ et $E\left(\right(X_i-\overline{X}{)}^2)$. Pourquoi l'écart d'une mesure à la moyenne des mesures est-il en moyenne plus petit que son écart à la valeur vraie ?

4) En déduire $E\left({\sum }_{i=1}^n\right(X_i-\overline{X}{)}^2)=(n-1){\sigma }^2$, puis $E(S^2)={\sigma }^2$ : $S^2$ est un estimateur sans biais de ${\sigma }^2$. Montrer que la moyenne des carrés des écarts, $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$, sous-estime ${\sigma }^2$ en moyenne, d'un facteur $\frac{n-1}{n}$.

5) Retrouver ce résultat par l'identité ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2={\sum }_{i=1}^n(X_i-m{)}^2-n(\overline{X}-m{)}^2$, que l'on démontrera : c'est la formule de Koenig-Huygens appliquée aux mesures.

6) Application. Dix mesures d'une période d'oscillation donnent, en secondes : $2,03$ ; $1,98$ ; $2,01$ ; $2,00$ ; $1,97$ ; $2,02$ ; $1,99$ ; $2,04$ ; $2,00$ ; $1,96$. Calculer la moyenne $\overline{x}$, l'écart-type expérimental $s$ (avec $n-1$) et l'incertitude-type estimée $\frac{s}{\sqrt{10}}$ ; écrire le résultat de la mesure.