Problème — L'incertitude-type de type A et la correction de Bessel

1) La moyenne et son écart type. Par linéarité de l'espérance, $E\left(\overline{X}\right)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)=m$ : la moyenne est un estimateur sans biais de la valeur vraie. Pour la variance, $V(aY)=a^{2}V(Y)$ donne $V\left(\overline{X}\right)=\frac{1}{n^2}V(X_1+\cdots +X_n)$ ; les $X_i$ étant indépendantes, donc décorrélées, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : $$V\left(\overline{X}\right)=\frac{1}{n^2}\cdot n{\sigma }^2=\frac{{\sigma }^2}{n},$$ d'où l'incertitude-type $\sigma \left(\overline{X}\right)=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$. Pour la diviser par $10$, il faut multiplier $\sqrt{n}$ par $10$, donc $n$ par $100$. Gagner un chiffre significatif coûte cent fois plus de mesures.

2) La garantie de Tchebychev. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $\overline{X}$ avec $\epsilon =k\frac{\sigma }{\sqrt{n}}>0$, donne $$P\left(\right|\overline{X}-m|\ge k\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\le \frac{V\left(\overline{X}\right)}{k^2{\sigma }^2/n}=\frac{{\sigma }^2/n}{k^2{\sigma }^2/n}=\frac{1}{k^2}.$$ Pour $k=2$, cette probabilité est au plus $\frac{1}{4}$ ; par passage au contraire, la valeur vraie est à moins de deux incertitudes-types de la moyenne avec une probabilité d'au moins $75\%$, quelle que soit la loi des mesures. Les $95\%$ des physiciens supposent davantage — une loi normale ; Tchebychev est plus prudent, et vrai sans hypothèse. C'est la loi faible des grands nombres du cours, écrite à l'échelle de l'incertitude-type.

3) Une mesure et la moyenne sont corrélées. Par définition, $\mathrm{Cov}(X_i,\overline{X})=E((X_i-m)(\overline{X}-m))$, avec $\overline{X}-m=\frac{1}{n}{\sum }_{j=1}^n(X_j-m)$. Par linéarité de l'espérance, $$\mathrm{Cov}(X_i,\overline{X})=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}E((X_i-m)(X_j-m))=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$$ Pour $j\ne i$, $X_i$ et $X_j$ sont indépendantes, donc décorrélées ; pour $j=i$, $\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)={\sigma }^2$. Il reste $\mathrm{Cov}(X_i,\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$. La variance d'une somme, appliquée à $X_i$ et à $-\overline{X}$, avec $V(-\overline{X})=V\left(\overline{X}\right)$ et $\mathrm{Cov}(X_i,-\overline{X})=-\mathrm{Cov}(X_i,\overline{X})$, donne $$V(X_i-\overline{X})={\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{n}-2\frac{{\sigma }^2}{n}=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2.$$ Enfin $E(X_i-\overline{X})=m-m=0$, donc, par Koenig-Huygens, $E\left(\right(X_i-\overline{X}{)}^2)=V(X_i-\overline{X})=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$.

Pourquoi c'est plus petit que l'écart à la valeur vraie, qui vaut $E((X_i-m{)}^2)={\sigma }^2$. La raison est dans la covariance positive : la moyenne $\overline{X}$ est calculée à partir de $X_i$ lui-même et le « suit » — si $X_i$ est grand, $\overline{X}$ l'est un peu aussi —, si bien que l'écart $X_i-\overline{X}$ est systématiquement rogné. On mesure l'écart à un centre qui s'est rapproché de la mesure.

4) La correction de Bessel. Par linéarité, en sommant le 3) sur les $n$ indices : $$E\left(\sum _{i=1}^n\right(X_i-\overline{X}{)}^2)=n\cdot \frac{n-1}{n}{\sigma }^2=(n-1){\sigma }^2.$$ En divisant par $n-1$, non nul puisque $n\ge 2$ : $E(S^2)={\sigma }^2$. $S^2$ est un estimateur sans biais de la variance. En divisant par $n$, on obtiendrait une espérance égale à $\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$ : la moyenne des carrés des écarts sous-estime systématiquement ${\sigma }^2$ — de moitié pour $n=2$, de $10\%$ pour $n=10$.

5) La même chose par Koenig-Huygens. Écrivons $X_i-m=(X_i-\overline{X})+(\overline{X}-m)$, élevons au carré et sommons : $$\sum _{i=1}^n(X_i-m{)}^2=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2+2(\overline{X}-m)\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})+n(\overline{X}-m{)}^2.$$ Le terme du milieu est nul, car ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X})=n\overline{X}-n\overline{X}=0$ : c'est la définition même de la moyenne. D'où l'identité annoncée. En prenant l'espérance, avec $E(\sum (X_i-m{)}^2)=n{\sigma }^2$ et $E\left(n\right(\overline{X}-m{)}^2)=nV(\overline{X})={\sigma }^2$ : $$E\left(\sum _{i=1}^n\right(X_i-\overline{X}{)}^2)=n{\sigma }^2-{\sigma }^2=(n-1){\sigma }^2.$$ On retrouve le 4) : la somme des carrés des écarts perd exactement une variance ${\sigma }^2$, parce qu'on a remplacé la valeur vraie par son estimation.

6) Les dix mesures. La somme des dix valeurs vaut $20,00$ s, donc $\overline{x}=2,000$ s. Les écarts à la moyenne, en centièmes de seconde, sont $3$, $-2$, $1$, $0$, $-3$, $2$, $-1$, $4$, $0$, $-4$ — de somme nulle, comme il se doit —, et leurs carrés $9$, $4$, $1$, $0$, $9$, $4$, $1$, $16$, $0$, $16$, de somme $60$. Donc $\sum (x_i-\overline{x}{)}^2=60\times 10^{-4}{\mathrm{s}}^2=0,0060{\mathrm{s}}^2$ exactement, et $$s=\sqrt{\frac{0,0060}{9}}\approx 0,0258\mathrm{s},$$ contre $\sqrt{\frac{0,0060}{10}}\approx 0,0245$ s si l'on divisait par $n$. L'incertitude-type estimée vaut $\frac{s}{\sqrt{10}}\approx \frac{0,0258}{3,162}\approx 0,0082$ s. Le résultat s'écrit : $T=2,000$ s, avec une incertitude-type de $0,008$ s. Au sens du 2), l'intervalle $[1,984;2,016]$ s contient la valeur vraie avec une probabilité d'au moins $75\%$ — à ceci près qu'on y a remplacé $\sigma$, inconnu, par son estimation $s$.

Le théorème obtenu — la correction de Bessel. Si $X_1,\dots ,X_n$ ($n\ge 2$) sont des variables aléatoires réelles indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance ${\sigma }^2$, alors la moyenne $\overline{X}$ a pour espérance $m$ et pour écart type $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$, et $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$ est un estimateur sans biais de ${\sigma }^2$ : $E(S^2)={\sigma }^2$.

Ce que le problème installe. Trois choses qu'on utilise à chaque séance de travaux pratiques, désormais démontrées. La loi de la racine : l'incertitude-type d'une moyenne décroît comme $\frac{1}{\sqrt{n}}$, parce que les variances de mesures indépendantes s'ajoutent. La garantie sans hypothèse : la loi faible des grands nombres, sous sa forme non asymptotique, promet au moins $75\%$ à deux incertitudes-types, quelle que soit la loi. Et le $n-1$ : les écarts $X_i-\overline{X}$, liés par $\sum (X_i-\overline{X})=0$, n'ont que $n-1$ degrés de liberté. Au chapitre suivant, l'identité du 5) se relira comme le théorème de Pythagore dans ${\mathbb{R}}^n$ : le vecteur des écarts à la valeur vraie est la somme de sa projection sur la droite des vecteurs constants et d'un vecteur orthogonal, celui des écarts à la moyenne.