Calcul de $\cos \frac{\pi }{12}$

Écrivons $\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}$ et appliquons la formule d'addition :

$$\cos \frac{\pi }{12}=\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.$$

Pour la tangente, par la formule d'addition de $\tan$ :

$$\tan \frac{\pi }{12}=\frac{\tan \frac{\pi }{3}-\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}.$$