Calcul de sommes combinatoires

Utilisons l'identité de l'absorption : pour $1\le k\le n$ :

$$k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=k\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$$

Par suite :

$$S_n=\sum _{k=1}^{n}n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)=n\sum _{j=0}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j}\right)$$

Par la formule du binôme de Newton appliquée à $(1+1{)}^{n-1}$ :

$$S_n=n{2}^{n-1}$$