Calcul par télescopage

Exercice classique · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 2 — Calcul algébrique et trigonométrie · A. Manipulation des sommes et des produits

Énoncé

Calculer la somme $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 1 )}$ .

Corrigé

Décomposons le terme général en éléments simples :

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

La somme s'écrit alors :

$T_{n} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$

Par télescopage additif :

$T_{n} = \frac{1}{1} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$

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