Deux télescopages

Stratégie : le télescopage. Une somme se calcule sans effort dès qu'on sait écrire son terme général comme une différence de deux valeurs consécutives d'une même suite. Tout s'annule alors deux à deux, et il ne reste que les deux extrémités. Les deux sommes proposées se ramènent à ce schéma, l'une par décomposition d'une fraction, l'autre par une propriété du logarithme.

1) La somme des inverses de $k(k+1)$. Cherchons à écrire $\frac{1}{k(k+1)}$ comme une différence. En réduisant au même dénominateur :

$$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}.$$

Posons $u_k=\frac{1}{k}$ : le terme général est exactement $u_k-u_{k+1}$. La somme se télescope :

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\left(u_k-u_{k+1}\right)=u_1-u_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

2) La somme des logarithmes. Ici la propriété du logarithme d'un quotient fait tout le travail :

$$\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln \frac{k+1}{k}=\ln (k+1)-\ln k.$$

En posant cette fois $v_k=\ln k$, le terme général vaut $v_{k+1}-v_k$ : c'est un télescopage dans l'autre sens, où ce sont les extrémités hautes qui survivent.

$$\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)=v_{n+1}-v_1=\ln (n+1)-\ln 1=\ln (n+1).$$

⚠️ Le point délicat est le sens de la différence. Dans le premier cas le terme s'écrit $u_k-u_{k+1}$ et la somme vaut « premier moins dernier » ; dans le second il s'écrit $v_{k+1}-v_k$ et la somme vaut « dernier moins premier ». Se tromper de sens change le signe du résultat. Le remède est de ne jamais réciter la formule mais d'écrire les trois premiers termes et le dernier, et de regarder ce qui s'annule.

Contrôle numérique. Pour $n=3$, la première somme vaut $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$, c'est-à-dire $\frac{6+2+1}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, et la formule donne bien $\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$. ✔ Pour la seconde avec $n=3$ : $\ln 2+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}=\ln \left(2\times \frac{3}{2}\times \frac{4}{3}\right)=\ln 4=\ln (3+1)$. ✔ Un calcul en fractions exactes jusqu'à $n=100$ confirme la première formule au dernier chiffre.

Ce que l'exercice installe. Le télescopage est, avec la récurrence, l'un des deux seuls moyens élémentaires de calculer une somme dont on ne connaît pas la valeur d'avance. Il reviendra sans arrêt : pour majorer des sommes, pour établir des sommes de référence, et pour reconnaître dans un produit une version multiplicative du même phénomène. Notons enfin que la seconde somme, $\ln (n+1)$, tend vers l'infini : le télescopage n'est pas seulement un calcul, il révèle un comportement.