Encadrement d'une somme

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 2 — Calcul algébrique et trigonométrie · E. Inégalités, valeur absolue, parties bornées

Énoncé

Montrer que pour tout $n \geq 1$ : $\frac{1}{2} \leq k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k} \leq 1$ .

Corrigé

La somme comporte $n$ termes, et pour $n + 1 \leq k \leq 2 n$ on a l'encadrement de chaque terme :

$\frac{1}{2 n} \leq \frac{1}{k} \leq \frac{1}{n + 1} \leq \frac{1}{n} .$

En sommant ces $n$ encadrements :

$n \times \frac{1}{2 n} \leq k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k} \leq n \times \frac{1}{n},$

soit exactement $\frac{1}{2} \leq \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} \leq 1$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.