mathématiques (PCSI) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Encadrement d'une somme

Calcul algébrique et trigonométrie · E. Inégalités, valeur absolue, parties bornées · ★★ niveau 2

Énoncé

Montrer que pour tout $n\ge 1$ : $\frac{1}{2}\le \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\le 1$.

Corrigé

La somme comporte $n$ termes, et pour $n+1\le k\le 2n$ on a l'encadrement de chaque terme :

$$\frac{1}{2n}\le \frac{1}{k}\le \frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n}.$$

En sommant ces $n$ encadrements :

$$n\times \frac{1}{2n}\le \sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\le n\times \frac{1}{n},$$

soit exactement $\frac{1}{2}\le {\sum }_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\le 1$.