Entre $1$ et $\sqrt{2}$

Stratégie : passer au carré pour faire apparaître un sinus double. L'expression $|\cos x|+|\sin x|$ mêle deux valeurs absolues, difficiles à manier telles quelles. Son carré, en revanche, se simplifie grâce à l'identité fondamentale et fait apparaître une unique quantité, $|\sin 2x|$, qu'on sait encadrer. Comme les deux membres à comparer sont positifs, l'élévation au carré est une équivalence.

Le carré. Posons $f(x)=|\cos x|+|\sin x|$, qui est positif ou nul. En développant :

$$f(x{)}^2={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x+2|\cos x||\sin x|=1+2|\cos x\sin x|.$$

On a utilisé que le produit des valeurs absolues est la valeur absolue du produit. La formule de duplication donne $2\cos x\sin x=\sin 2x$, donc $2|\cos x\sin x|=|\sin 2x|$ et

$$f(x{)}^2=1+\left|\sin 2x\right|.$$

L'encadrement. Comme $0\le |\sin 2x|\le 1$ pour tout réel, il vient immédiatement

$$1\le f(x{)}^2\le 2.$$

⚠️ Le point délicat est le retour du carré à la quantité elle-même. La fonction racine carrée est croissante sur les positifs, et $f(x)\ge 0$ : on peut donc prendre la racine des trois membres sans changer le sens. Si $f$ pouvait être négative, l'encadrement du carré ne dirait rien de $f$ — c'est la positivité de $f$, écrite explicitement, qui rend le passage légitime.

$$1\le |\cos x|+|\sin x|\le \sqrt{2}.$$

Les cas d'égalité. Ils se lisent directement sur $|\sin 2x|$.

À gauche, l'égalité $f(x)=1$ équivaut à $|\sin 2x|=0$, c'est-à-dire $2x\equiv 0[\pi ]$, soit

$$x\equiv 0\left[\frac{\pi }{2}\right].$$

Ce sont les points du cercle situés sur les deux axes : en ces points, l'un des deux nombres $\cos x$, $\sin x$ vaut $\pm 1$ et l'autre est nul, la somme des valeurs absolues vaut bien $1$.

À droite, l'égalité $f(x)=\sqrt{2}$ équivaut à $|\sin 2x|=1$, c'est-à-dire $2x\equiv \frac{\pi }{2}[\pi ]$, soit

$$x\equiv \frac{\pi }{4}\left[\frac{\pi }{2}\right].$$

Ce sont les points situés sur les deux bissectrices : les deux coordonnées y valent $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ en valeur absolue, et la somme fait $\sqrt{2}$.

Contrôle numérique. En $x=0$ : $1+0=1$, minimum atteint. En $x=\frac{\pi }{4}$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1,4142$, maximum atteint. En $x=\frac{\pi }{6}$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\approx 1,366$, bien compris entre les deux. ✔ Un balayage complet d'une période au pas de $10^{-4}$ donne un minimum de $1$ et un maximum de $1,41421$, sans jamais sortir de l'encadrement, et l'identité $f(x{)}^2=1+|\sin 2x|$ est vérifiée à $10^{-9}$ près en chaque point testé.

Ce que l'exercice installe. Une interprétation géométrique qui vaut la peine d'être vue : $|\cos x|+|\sin x|$ est la distance de l'origine au point du cercle mesurée « à la manière d'un taxi », en ne se déplaçant que parallèlement aux axes. L'encadrement dit alors que cette distance vaut entre $1$ et $\sqrt{2}$ selon la direction — elle est minimale le long des axes, maximale le long des diagonales. C'est le premier exemple de comparaison entre deux façons de mesurer une longueur, thème qui reviendra avec les normes.