L'équation $\sin 2x=\sin x$

Stratégie : dupliquer puis factoriser. Une équation trigonométrique où les angles sont différents — ici $2x$ et $x$ — se ramène toujours d'abord à un seul angle, grâce aux formules de duplication. On obtient alors une équation produit, et l'on utilise que dans $\mathbb{R}$, un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est.

La mise sous forme factorisée. La formule de duplication donne $\sin (2x)=2\sin x\cos x$. L'équation s'écrit donc

$$2\sin x\cos x=\sin x,\text{soit}2\sin x\cos x-\sin x=0,$$

c'est-à-dire, en mettant $\sin x$ en facteur :

$$\sin x\left(2\cos x-1\right)=0.$$

⚠️ Le point délicat est de ne jamais diviser par $\sin x$. La tentation est forte : on écrirait $2\cos x=1$ et l'on trouverait une famille de solutions. Mais la division par $\sin x$ n'est licite que si $\sin x\ne 0$, et l'on perdrait alors toute la famille des $x$ où le sinus s'annule — c'est-à-dire une infinité de solutions parfaitement valides. On factorise, on ne divise pas : c'est la règle absolue des équations trigonométriques.

Le premier facteur. $\sin x=0$ équivaut, sur le cercle trigonométrique, à ce que le point d'angle $x$ soit sur l'axe horizontal, donc en $1$ ou en $-1$ :

$$x\equiv 0[\pi ],\text{soit}x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Le second facteur. $2\cos x-1=0$ s'écrit $\cos x=\frac{1}{2}$. La valeur usuelle $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ et la symétrie du cosinus par rapport à l'axe horizontal donnent deux familles :

$$x=\frac{\pi }{3}+2k\pi \text{ou}x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

L'ensemble des solutions. C'est la réunion des trois familles :

$$\mathcal{S}=\left\{k\pi :k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi :k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{-\frac{\pi }{3}+2k\pi :k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Sur l'intervalle $[0,2\pi [$, cela fait quatre solutions : $0$, $\frac{\pi }{3}$, $\pi$ et $\frac{5\pi }{3}$.

Contrôle numérique. En $x=\frac{\pi }{3}$ : $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, les deux coïncident. ✔ En $x=\pi$ : $\sin 2\pi =0=\sin \pi$. ✔ En $x=\frac{\pi }{2}$, qui n'est pas dans l'ensemble : $\sin \pi =0$ tandis que $\sin \frac{\pi }{2}=1$ — l'équation n'est pas vérifiée, comme il se doit. ✔ Un balayage de l'intervalle $[-7,7]$ au pas de $10^{-5}$ ne trouve aucune racine en dehors des trois familles annoncées.

Ce que l'exercice installe. L'algorithme complet des équations trigonométriques : ramener tous les angles au même, factoriser, résoudre chaque facteur en revenant au cercle, et donner l'ensemble des solutions sous forme de familles indexées par un entier — avec la période correcte, $2\pi$ pour le cosinus et le sinus, $\pi$ quand deux positions symétriques se rejoignent. Et une règle de sécurité qui vaut bien au-delà de la trigonométrie : ne jamais simplifier par une quantité dont on n'a pas prouvé qu'elle est non nulle.