L'inégalité à $\epsilon$ près

La stratégie : par l'absurde, et choisir l'$\epsilon$. L'hypothèse porte sur tous les $\epsilon >0$. Sa force est qu'on peut l'appliquer à l'un d'eux, choisi exprès pour produire une contradiction : toute la démonstration tient dans ce choix. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la compatibilité de l'ordre avec l'addition et avec la multiplication par un réel positif, et le fait que l'ordre sur $\mathbb{R}$ est total — deux réels sont toujours comparables.

a) Le lemme. Supposons, par l'absurde, que $a>b$, et posons $${\epsilon }_0=\frac{a-b}{2}.$$ C'est ici tout l'exercice : ce ${\epsilon }_0$ est légitime. Comme $a-b>0$, on a ${\epsilon }_0>0$ : c'est un $\epsilon$ admissible, et l'hypothèse s'applique à lui. Ce choix n'est possible qu'après avoir supposé $a>b$ : sans cela, $\frac{a-b}{2}$ pourrait être négatif ou nul. L'hypothèse donne $$a\le b+{\epsilon }_0=b+\frac{a-b}{2}=\frac{a+b}{2}.$$ Or $a>b$ entraîne $a+b<2a$, donc $\frac{a+b}{2}<a$. On obtient $a<a$ : contradiction. L'hypothèse $a>b$ est intenable ; l'ordre étant total, il reste $a\le b$, ce qui achève la démonstration.

Pourquoi ce ${\epsilon }_0$ précisément. N'importe quel $\epsilon$ strictement compris entre $0$ et $a-b$ conviendrait ; avec $\epsilon =a-b$ lui-même, on obtiendrait seulement $a\le a$, qui n'est pas une contradiction. La moitié de l'écart est le choix le plus simple, strictement positif et strictement plus petit que l'écart.

Ce qu'on ne peut pas conclure. L'inégalité obtenue est large : avec $a=b$, l'hypothèse est vraie et $a<b$ est faux. Même si l'on partait d'inégalités strictes, $a<b+\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$, on n'obtiendrait que $a\le b$ : l'inégalité stricte se perd au passage « pour tout $\epsilon$ », et cette perte se reproduira à chaque passage à la limite.

b) L'égalité à $\epsilon$ près. L'hypothèse $|a-b|\le \epsilon$ signifie $-\epsilon \le a-b\le \epsilon$, c'est-à-dire à la fois $a\le b+\epsilon$ et $b\le a+\epsilon$. Le a), appliqué deux fois, donne $a\le b$ et $b\le a$, donc $a=b$. Deux réels dont la distance est plus petite que tout $\epsilon >0$ sont égaux : c'est sous cette forme qu'on démontrera l'unicité de la limite d'une suite.

c) Les $\epsilon$ de la forme $\frac{1}{n}$. Soit $\epsilon >0$, et posons $n=\lfloor 1/\epsilon \rfloor +1$. Par définition de la partie entière, $\lfloor 1/\epsilon \rfloor \le \frac{1}{\epsilon }<\lfloor 1/\epsilon \rfloor +1=n$ ; donc $n>\frac{1}{\epsilon }>0$, l'entier $n$ est au moins $1$, et, en passant à l'inverse entre réels strictement positifs, $\frac{1}{n}<\epsilon$. L'hypothèse appliquée à cet entier donne $$x\le y+\frac{1}{n}<y+\epsilon .$$ Ainsi $x\le y+\epsilon$ pour tout $\epsilon >0$, et le a) donne $x\le y$.

Le point délicat. L'hypothèse ne porte plus sur tous les $\epsilon >0$, mais seulement sur ceux de la forme $\frac{1}{n}$. Cela suffit parce que tout $\epsilon >0$ est dépassé par un $\frac{1}{n}$ — et c'est la partie entière qui fournit cet $n$. On retiendra qu'une suite de $\epsilon$ qui tend vers zéro suffit.

Contrôle. Avec $a=3$ et $b=2,9$, l'hypothèse du a) tombe en défaut dès que $\epsilon <0,1$ : pour ${\epsilon }_0=0,05$, on aurait $3\le 2,95$. Pour $\epsilon =0,3$, le c) choisit $n=\lfloor 3,33\dots \rfloor +1=4$, et $\frac{1}{4}=0,25<0,3$.

Ce que l'exercice installe. C'est le raisonnement de l'analyse : pour établir $a\le b$, on montre l'inégalité « à $\epsilon$ près » pour tout $\epsilon >0$, et l'on conclut. On le retrouvera pour les limites de suites et de fonctions, la borne supérieure, les intégrales. Retenons le geste — choisir l'$\epsilon$ et justifier qu'il est strictement positif — et la règle : on n'obtient ainsi qu'une inégalité large.