La partie entière d'un quotient

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition du cours : $\lfloor y\rfloor$ est l'unique entier $q$ tel que $q\le y<q+1$. La stratégie en découle : pour démontrer qu'un entier candidat est la partie entière d'un réel, on établit ce double encadrement — on pose le candidat avant de le vérifier.

a) La caractérisation. Sens réciproque. Si $m\le \lfloor x\rfloor$, alors $m\le \lfloor x\rfloor \le x$.

Sens direct, par contraposition. Supposons $m>\lfloor x\rfloor$. Comme $m$ et $\lfloor x\rfloor$ sont des entiers, cela entraîne $m\ge \lfloor x\rfloor +1$, et $\lfloor x\rfloor +1>x$ : donc $m>x$. Par contraposition, $m\le x$ entraîne $m\le \lfloor x\rfloor$.

La partie entière de $x$ est donc le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ : un entier qui minore $x$ minore aussi $\lfloor x\rfloor$. Le point délicat est le pas « $m>\lfloor x\rfloor$, donc $m\ge \lfloor x\rfloor +1$ » : il n'y a aucun entier strictement entre deux entiers consécutifs, et c'est tout ce qu'on utilise.

b) La partie entière d'un quotient. Soit $x\in \mathbb{R}$, et posons $q=\lfloor \frac{x}{n}\rfloor$, qui est un entier. Par définition, $q\le \frac{x}{n}<q+1$, donc, en multipliant par $n>0$ : $$qn\le x<(q+1)n.$$ La minoration. L'entier $qn$ minore $x$, donc, par le a), il minore $\lfloor x\rfloor$ : $qn\le \lfloor x\rfloor$.

La majoration. $\lfloor x\rfloor \le x<(q+1)n$.

Ainsi $qn\le \lfloor x\rfloor <(q+1)n$, et en divisant par $n>0$ : $q\le \frac{\lfloor x\rfloor }{n}<q+1$. Par l'unicité de la définition, $q$ est la partie entière de $\frac{\lfloor x\rfloor }{n}$ : c'est l'égalité demandée.

Le point délicat. On a utilisé que $qn$ est un entier — c'est là, et seulement là, que sert l'hypothèse « $n$ entier ». Pour $n=\frac{1}{2}$ et $x=1,5$, l'égalité tombe : à gauche $\lfloor 2\rfloor =2$, à droite $\lfloor 3\rfloor =3$.

Contrôle. Avec $x=7,9$ et $n=3$ : $\lfloor \frac{7}{3}\rfloor =2$ et $\lfloor \frac{7,9}{3}\rfloor =\lfloor 2,63\dots \rfloor =2$. Avec $x=-0,5$ et $n=2$ : $\lfloor -\frac{1}{2}\rfloor =-1$ et $\lfloor -0,25\rfloor =-1$.

c) Compter les multiples. Les multiples de $n$ dans $\{1,\dots ,N\}$ sont les entiers $kn$ avec $k\ge 1$ et $kn\le N$. Or, pour $k$ entier, $kn\le N⟺k\le \frac{N}{n}⟺k\le \lfloor \frac{N}{n}\rfloor$, par le a). Les valeurs possibles de $k$ sont donc $1,2,\dots ,\lfloor \frac{N}{n}\rfloor$ : il y en a exactement $\lfloor \frac{N}{n}\rfloor$ (aucune si ce nombre est nul).

Application. Dans $\{1,\dots ,1000\}$, il y a $\lfloor 500\rfloor =500$ multiples de $2$ et $\lfloor 333,3\dots \rfloor =333$ multiples de $3$. Un entier divisible à la fois par $2$ et par $3$ est divisible par $6$ — les nombres premiers $2$ et $3$ figurent tous deux dans sa décomposition en facteurs premiers —, et réciproquement : il y en a $\lfloor 166,6\dots \rfloor =166$. Les entiers divisibles par $2$ ou par $3$ sont les $500$ pairs et les multiples de $3$ impairs, au nombre de $333-166=167$ : il y en a $667$. Il reste $1000-667=333$ entiers divisibles ni par $2$ ni par $3$.

Contrôle par paquets de six. Parmi six entiers consécutifs $6j+1,\dots ,6j+6$, exactement deux, $6j+1$ et $6j+5$, ne sont divisibles ni par $2$ ni par $3$. Comme $1000=6\times 166+4$, les $166$ paquets en donnent $332$, et parmi $997,998,999,1000$ seul $997$ convient : $333$.

Ce que l'exercice installe. La partie entière ne se manie pas comme « le nombre avant la virgule » : on revient toujours à l'encadrement $q\le y<q+1$, et à sa conséquence, « un entier qui minore $x$ minore sa partie entière ». Le b) dit qu'en divisant plusieurs fois de suite par des entiers, on peut tronquer à chaque étape sans fausser le résultat — c'est la division entière des langages de programmation. Et le c) est le premier pas du dénombrement : compter des multiples, c'est prendre une partie entière.