La somme des carrés d'une ligne du triangle de Pascal

Stratégie : identifier un coefficient dans deux écritures d'un même polynôme. On dispose d'une identité évidente entre expressions, $(1+x{)}^n(1+x{)}^n=(1+x{)}^{2n}$. On développe chaque membre par la formule du binôme, puis on compare le coefficient d'une même puissance de $x$. C'est la méthode dite des fonctions génératrices, et elle transforme une identité de sommes en un simple regard.

Le membre de droite. La formule du binôme donne directement

$$(1+x{)}^{2n}=\sum _{m=0}^{2n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{m})x^m.$$

Le coefficient de $x^n$ y vaut $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$.

Le membre de gauche. On développe chacun des deux facteurs :

$$(1+x{)}^n(1+x{)}^n=\left(\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)x^i\right)\left(\sum _{j=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)x^j\right).$$

En développant ce produit, on obtient une somme de termes $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)x^{i+j}$. Le coefficient de $x^n$ s'obtient en ne retenant que les couples $(i,j)$ tels que $i+j=n$, c'est-à-dire $j=n-i$ avec $i$ variant de $0$ à $n$ :

$$\text{coefficient de }{x}^n=\sum _{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-i}\right).$$

La symétrie termine le travail. Le cours donne $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-i}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$ : choisir $n-i$ objets parmi $n$, c'est en écarter $i$. Donc chaque terme du produit est un carré, et

$$\text{coefficient de }{x}^n=\sum _{i=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)}^2.$$

L'identification. Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients. En comparant le coefficient de $x^n$ dans les deux écritures :

$$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right).$$

⚠️ Le point délicat est le droit d'identifier. Deux expressions polynomiales qui coïncident pour tout réel $x$ ont bien les mêmes coefficients — c'est ce qui rend la méthode valide. Il faut aussi soigner l'indexation du produit : lorsqu'on développe un produit de deux sommes, les indices sont indépendants, et regrouper selon $i+j$ est un changement de variable, pas une évidence. Écrire $i+j=n$ puis remplacer $j$ par $n-i$ est le pas où l'on perd le plus souvent une borne.

Contrôle numérique. Pour $n=3$, la ligne du triangle de Pascal est $1,3,3,1$, et la somme des carrés vaut $1+9+9+1=20$. Or $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$. ✔ Pour $n=4$ : $1+16+36+16+1=70$, et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$. ✔ La vérification tenue de $n=0$ à $n=40$ ne rencontre aucun écart.

Ce que l'exercice installe. Une méthode de démonstration entièrement nouvelle : au lieu de calculer une somme, on la reconnaît comme un coefficient dans un développement. Elle sera reprise en probabilités — c'est ainsi qu'on établit la loi hypergéométrique — et généralisée sous le nom d'identité de Vandermonde. Il existe aussi une lecture combinatoire directe : choisir $n$ personnes parmi $n$ hommes et $n$ femmes, c'est choisir $k$ hommes et $n-k$ femmes, pour un certain $k$.