La somme des cubes est un carré

Stratégie : récurrence simple, avec la somme de référence en réserve. On connaît déjà $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. Il suffit donc d'établir la formule fermée pour la somme des cubes ; l'égalité avec le carré de la somme des entiers en découlera par simple comparaison des deux expressions.

La propriété à démontrer. Pour $n\ge 1$, notons

$$P(n):\sum _{k=1}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}.$$

Initialisation. Pour $n=1$, le membre de gauche vaut $1^3=1$ et celui de droite $\frac{1\times 4}{4}=1$. $P(1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $P(n)$ vraie pour un $n\ge 1$. Alors

$$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^3=\sum _{k=1}^n{k}^3+(n+1{)}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}+(n+1{)}^3.$$

On met $(n+1{)}^2$ en facteur — c'est le geste qui fait aboutir le calcul :

$$=(n+1{)}^2\left(\frac{n^2}{4}+(n+1)\right)=(n+1{)}^2\cdot \frac{n^2+4n+4}{4}=\frac{(n+1{)}^2(n+2{)}^2}{4}.$$

C'est exactement $P(n+1)$. La propriété est donc vraie pour tout $n\ge 1$.

L'égalité avec le carré. La somme de référence donne

$${\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4},$$

qui est le même nombre. D'où la chaîne annoncée :

$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}.$$

⚠️ Le point délicat n'est pas le calcul, c'est l'interprétation. Cette égalité est un accident, pas une règle. Il serait faux d'en conclure quoi que ce soit pour d'autres exposants : la somme des carrés vaut $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, qui n'est le carré ni le cube d'aucune somme simple. Le mot « donc » n'a aucune place entre les deux formules ; ce qui les relie, c'est un calcul, pas une raison.

Contrôle numérique. Pour $n=4$ : les cubes donnent $1+8+27+64=100$, et la somme des entiers vaut $1+2+3+4=10$, dont le carré est $100$. ✔ Pour $n=5$ : $100+125=225$, et $15^2=225$. ✔ Une vérification exhaustive de $n=1$ à $n=60$ ne trouve aucun écart.

Ce que l'exercice installe. D'abord la mécanique de la récurrence sur une somme : on isole le dernier terme, on invoque l'hypothèse, on factorise. Ensuite l'idée qu'une formule close, une fois démontrée, se compare à d'autres et révèle parfois des coïncidences frappantes — dont il faudra se garder de croire qu'elles ont une cause. Une figure rend d'ailleurs l'égalité visible : un carré de côté $1+2+\cdots +n$ se découpe exactement en $n$ équerres, la $k$-ième d'aire $k^3$.