Le cosinus de $\pi /5$

La stratégie : fabriquer une équation dont $\cos \frac{\pi }{5}$ est racine. L'angle $\frac{\pi }{5}$ n'est pas usuel : aucune formule d'addition ne le fabrique à partir de $\frac{\pi }{6}$ et de $\frac{\pi }{4}$. Mais il vérifie une relation algébrique, $5\theta =\pi$, que les formules de duplication vont traduire en une équation polynomiale en $\cos \theta$. Ce qu'on a le droit d'utiliser : $\cos (\pi -u)=-\cos u$, les formules d'addition et de duplication.

1) La relation angulaire. Posons $\theta =\frac{\pi }{5}$. Alors $5\theta =\pi$, donc $3\theta =\pi -2\theta$, et en prenant le cosinus, $$\cos 3\theta =\cos (\pi -2\theta )=-\cos 2\theta .$$

2) Tout en fonction de $c=\cos \theta$. La duplication donne $\cos 2\theta =2c^2-1$ et $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$. Pour le triple, on écrit $3\theta =2\theta +\theta$ et l'on utilise ${\sin }^2\theta =1-c^2$ : $$\cos 3\theta =\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta =(2c^2-1)c-2c(1-c^2)=4c^3-3c.$$ La relation du 1) devient $4c^3-3c=-(2c^2-1)$, c'est-à-dire $$4c^3+2c^2-3c-1=0.$$

3) Une racine évidente, et la factorisation. Le réel $-1$ annule ce polynôme : $-4+2+3-1=0$. On factorise donc par $c+1$ : $$4c^3+2c^2-3c-1=(c+1)(4c^2-2c-1),$$ ce que l'on vérifie en développant : $4c^3-2c^2-c+4c^2-2c-1=4c^3+2c^2-3c-1$.

4) Le tri des racines. Comme $0<\theta <\frac{\pi }{2}$, on a $c>0$ : la racine $-1$ n'est pas la nôtre. Il reste $4c^2-2c-1=0$, de discriminant $\Delta =4+16=20$, donc de racines $$c=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}.$$ La racine $\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ est négative, puisque $\sqrt{5}>1$ : elle est exclue. Il reste $$\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$$ Contrôle numérique. $\sqrt{5}\approx 2,2360680$, donc $\frac{1+\sqrt{5}}{4}\approx 0,8090170$, et $\cos 36^{\circ }\approx 0,8090170$.

Le point délicat : trois racines pour une valeur. L'équation obtenue a trois racines, et le cosinus cherché n'en est qu'une. Les écarter n'est pas une formalité : c'est le signe de $\cos \frac{\pi }{5}$, tiré de $0<\frac{\pi }{5}<\frac{\pi }{2}$, qui décide, et sans lui la démonstration ne conclut rien.

D'où viennent les deux autres racines. Elles ne sont pas des accidents : ce sont les cosinus d'autres angles qui vérifient la même relation. Pour $\theta =\pi$, $\cos 3\pi =-1=-\cos 2\pi$ : c'est la racine $-1$. Pour $\theta =\frac{3\pi }{5}$, $\cos \frac{9\pi }{5}=\cos \frac{\pi }{5}$ et $-\cos \frac{6\pi }{5}=\cos \frac{\pi }{5}$, donc la relation est encore vraie ; et $\cos \frac{3\pi }{5}$ est négatif sans valoir $-1$ : c'est la racine $\frac{1-\sqrt{5}}{4}$. On en déduit au passage $\cos \frac{2\pi }{5}=-\cos \frac{3\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Ce que l'exercice installe. Une valeur non usuelle se calcule en trois temps : une relation angulaire, sa traduction polynomiale par les formules d'addition et de duplication, et la sélection de la bonne racine par un encadrement de l'angle. Le nombre obtenu n'est pas anodin : $2\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est le nombre d'or, celui du problème de Lamé de la séance précédente, et la figure du pentagone régulier. On retrouvera ces mêmes cosinus au chapitre des nombres complexes, avec les racines cinquièmes de l'unité.