mathématiques (PCSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Le profil des coefficients binomiaux

Calcul algébrique et trigonométrie · C. Coefficients binomiaux et formule du binôme · niveau 2

Énoncé

Soit $n \in N^{*}$ ; le coefficient binomial $(k n)$ se lit « $k$ parmi $n$ ».

a) Pour $0 \leq k \leq n - 1$ , calculer $(k + 1 n) / (k n)$ . En déduire que la suite $((k n))_{0 \leq k \leq n}$ croît puis décroît, et préciser les valeurs de $k$ où elle atteint son maximum.

b) En déduire que $\frac{4 ^{n}}{2 n + 1} \leq (n 2 n) \leq 4^{n}$ .

c) Soient $p \in] 0, 1 [$ et $b_{k} = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ pour $0 \leq k \leq n$ (loi binomiale). Montrer que $(b_{k})$ croît puis décroît, et que son maximum est atteint en $k = ⌊(n + 1) p ⌋$ lorsque $(n + 1) p$ n'est pas entier, en $k = (n + 1) p - 1$ et $k = (n + 1) p$ sinon.

Corrigé de la question 1

La stratégie : le quotient de deux termes consécutifs. Les termes étudiés sont strictement positifs ; comparer $u_{k + 1}$ à $u_{k}$ revient alors à comparer $\frac{u _{k + 1}}{u _{k}}$ à $1$ — et, pour des factorielles, le quotient se simplifie, alors que la différence ne se simplifie pas. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la définition $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ , la formule du binôme, la partie entière.

a) Le quotient, et le profil. Pour $0 \leq k \leq n - 1$ : $\frac{( k + 1 n )}{( k n )} = \frac{n !}{( k + 1 )! ( n - k - 1 )!} \cdot \frac{k ! ( n - k )!}{n !} = \frac{n - k}{k + 1},$ puisque $\frac{k !}{( k + 1 )!} = \frac{1}{k + 1}$ et $\frac{( n - k )!}{( n - k - 1 )!} = n - k$ . Comme $k + 1 > 0$ , $\frac{n - k}{k + 1} > 1 ⟺ n - k > k + 1 ⟺ k < \frac{n - 1}{2},$ et de même le quotient vaut $1$ si et seulement si $k = \frac{n - 1}{2}$ , et il est inférieur à $1$ si et seulement si $k > \frac{n - 1}{2}$ .

Si $n$ est pair, $n = 2 m$ : $\frac{n - 1}{2} = m - \frac{1}{2}$ n'est pas entier ; la suite croît strictement jusqu'au rang $m$ , puis décroît strictement. Un seul maximum, en $k = \frac{n}{2}$ .

Si $n$ est impair, $n = 2 m + 1$ : $\frac{n - 1}{2} = m$ ; la suite croît strictement jusqu'au rang $m$ , vérifie $(m n) = (m + 1 n)$ , puis décroît strictement. Deux maximums égaux, en $k = \frac{n - 1}{2}$ et $k = \frac{n + 1}{2}$ .

Contrôle : la ligne $n = 6$ du triangle de Pascal est $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ ; la ligne $n = 5$ est $1, 5, 10, 10, 5, 1$ .

Le point délicat. Le passage de « quotient supérieur à $1$ » à « $n - k > k + 1$ » multiplie par $k + 1$ : c'est licite parce que $k + 1 > 0$ . Et l'on n'a le droit de raisonner sur le quotient que parce que les termes sont strictement positifs.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En déduire que $\frac{4 ^{n}}{2 n + 1} \leq (n 2 n) \leq 4^{n}$ .

Élève

La majoration vient de la formule du binôme : $(n 2 n)$ est l'un des termes de la somme qui vaut $4^{n}$ . Mais pour la minoration, je ne vois pas d'où sort le $2 n + 1$ .

Combien de termes compte la somme $\sum_{k = 0}^{2 n} (k 2 n)$ ? Et que t'a appris le a) sur la place de $(n 2 n)$ parmi eux ?

Élève

Il y a $2 n + 1$ termes, et d'après le a), comme $2 n$ est pair, $(n 2 n)$ est le plus grand d'entre eux.

Que peux-tu dire d'une somme de $2 n + 1$ nombres comparée à $2 n + 1$ fois le plus grand d'entre eux ? Quelle inégalité en tires-tu pour $(n 2 n)$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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