Le profil des coefficients binomiaux

La stratégie : le quotient de deux termes consécutifs. Les termes étudiés sont strictement positifs ; comparer $u_{k+1}$ à $u_k$ revient alors à comparer $\frac{u_{k+1}}{u_k}$ à $1$ — et, pour des factorielles, le quotient se simplifie, alors que la différence ne se simplifie pas. Ce qu'on a le droit d'utiliser : la définition $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, la formule du binôme, la partie entière.

a) Le quotient, et le profil. Pour $0\le k\le n-1$ : $$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\cdot \frac{k!(n-k)!}{n!}=\frac{n-k}{k+1},$$ puisque $\frac{k!}{(k+1)!}=\frac{1}{k+1}$ et $\frac{(n-k)!}{(n-k-1)!}=n-k$. Comme $k+1>0$, $$\frac{n-k}{k+1}>1⟺n-k>k+1⟺k<\frac{n-1}{2},$$ et de même le quotient vaut $1$ si et seulement si $k=\frac{n-1}{2}$, et il est inférieur à $1$ si et seulement si $k>\frac{n-1}{2}$.

Si $n$ est pair, $n=2m$ : $\frac{n-1}{2}=m-\frac{1}{2}$ n'est pas entier ; la suite croît strictement jusqu'au rang $m$, puis décroît strictement. Un seul maximum, en $k=\frac{n}{2}$.

Si $n$ est impair, $n=2m+1$ : $\frac{n-1}{2}=m$ ; la suite croît strictement jusqu'au rang $m$, vérifie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m+1}\right)$, puis décroît strictement. Deux maximums égaux, en $k=\frac{n-1}{2}$ et $k=\frac{n+1}{2}$.

Contrôle : la ligne $n=6$ du triangle de Pascal est $1,6,15,20,15,6,1$ ; la ligne $n=5$ est $1,5,10,10,5,1$.

Le point délicat. Le passage de « quotient supérieur à $1$ » à « $n-k>k+1$ » multiplie par $k+1$ : c'est licite parce que $k+1>0$. Et l'on n'a le droit de raisonner sur le quotient que parce que les termes sont strictement positifs.

b) L'encadrement de « $n$ parmi $2n$ ». La formule du binôme avec $a=b=1$ donne $$\sum _{k=0}^{2n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k}\right)=2^{2n}=4^n.$$ Tous les termes sont positifs, donc chacun est inférieur à la somme : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\le 4^n$. Par le a), appliqué à l'entier pair $2n$, le plus grand des $2n+1$ termes est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ ; la somme est donc au plus $(2n+1)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$, d'où $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\ge \frac{4^n}{2n+1}$. Le plus grand de $N$ nombres dépasse leur moyenne : c'est tout l'argument.

Contrôle : pour $n=5$, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{5}\right)=252$, entre $\frac{1024}{11}\approx 93$ et $1024$. La séance précédente avait établi la majoration plus fine $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\le \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}$, qui vaut ici $256$ : l'encadrement $\frac{4^n}{2n+1}\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)\le \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}$ situe « $n$ parmi $2n$ » à un facteur près.

c) La loi binomiale. Les $b_k$ sont strictement positifs, puisque $0<p<1$. Pour $0\le k\le n-1$, par le a) : $$\frac{b_{k+1}}{b_k}=\frac{n-k}{k+1}\cdot \frac{p}{1-p}.$$ En multipliant par $(k+1)(1-p)>0$, ce quotient est supérieur à $1$ si et seulement si $(n-k)p>(k+1)(1-p)$, c'est-à-dire $np-kp>k+1-kp-p$, soit $k<(n+1)p-1$ ; il vaut $1$ si et seulement si $k=(n+1)p-1$, et il est inférieur à $1$ si et seulement si $k>(n+1)p-1$. Posons $\mu =(n+1)p$, qui est dans $]0,n+1[$.

Si $\mu$ n'est pas entier, notons $k_0=\lfloor \mu \rfloor$, entier de $\{0,\dots ,n\}$. Pour $k\le k_0-1$, on a $k+1\le k_0<\mu$, donc $b_{k+1}>b_k$ : la suite croît jusqu'au rang $k_0$. Pour $k\ge k_0$, on a $k+1\ge k_0+1>\mu$, donc $b_{k+1}<b_k$ : elle décroît à partir du rang $k_0$. Le maximum est atteint en $k_0=\lfloor (n+1)p\rfloor$, et en ce seul rang.

Si $\mu$ est entier, alors $1\le \mu \le n$ ; la suite croît jusqu'au rang $\mu -1$, vérifie $b_{\mu }=b_{\mu -1}$, puis décroît. Deux maximums égaux, en $\mu -1$ et en $\mu$.

Contrôles : pour $n=10$ et $p=0,3$, $\mu =3,3$ et le maximum est $b_3\approx 0,267$ ; pour $n=9$ et $p=0,3$, $\mu =3$ et $b_2=b_3\approx 0,2668$. Une vérification exacte sur tous les $n<60$ et toutes les valeurs $p=\frac{t}{40}$ ne trouve aucune exception.

Ce que l'exercice installe. Le quotient de deux termes consécutifs est l'outil naturel pour étudier une suite à termes strictement positifs faite de factorielles ou de puissances ; on le retrouvera dans l'étude des suites et des séries. Le c) donne la valeur la plus probable d'une loi binomiale : elle est à moins de $1$ de $np$, qui sera l'espérance de cette loi au chapitre des probabilités.