Les petits angles : encadrer sinus et cosinus près de 0

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'inégalité du cours $|\sin x|\le |x|$ ; les dérivées ${\sin }^{\prime }=\cos$, ${\cos }^{\prime }=-\sin$, ${\tan }^{\prime }=1+{\tan }^2$ ; la formule de duplication $\cos x=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}$ ; et le lien, connu depuis la Terminale et que le cours emploie déjà pour démontrer $|\sin x|\le |x|$, entre le signe de la dérivée et le sens de variation : une fonction dérivable de dérivée positive sur un intervalle y est croissante. La stratégie : chaque encadrement s'obtient du précédent en étudiant une différence dont la dérivée est déjà encadrée.

a) Sinus, arc et tangente. L'inégalité $\sin x\le x$ est celle du cours. Pour la seconde, posons $g(x)=\tan x-x$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right[$ : $g^{\prime }(x)=1+{\tan }^{2}x-1={\tan }^{2}x\ge 0$, donc $g$ est croissante, et $g(0)=0$ ; ainsi $g\ge 0$, c'est-à-dire $x\le \tan x$.

b) Le cosinus, à l'ordre deux. Pour tout réel $x$, $\cos x=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}$, et ${\sin }^2\frac{x}{2}\le {\left(\frac{x}{2}\right)}^2$ en élevant au carré l'inégalité du cours, dont les deux membres sont positifs. Donc $\cos x\ge 1-2\cdot \frac{x^2}{4}=1-\frac{x^2}{2}$ ; et $\cos x\le 1$ toujours.

c) Le sinus, à l'ordre trois. Posons $h(x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}$ sur $[0,+\infty [$. Sa dérivée est $$h^{\prime }(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}\ge 0$$ par le b). La fonction $h$ est donc croissante, et $h(0)=0$ : pour $x\ge 0$, $h(x)\ge 0$, c'est-à-dire $\sin x\ge x-\frac{x^3}{6}$. Avec $\sin x\le x$, l'encadrement est établi.

d) Le cosinus, à l'ordre quatre. Posons $k(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cos x$. Sa dérivée est $k^{\prime }(x)=-x+\frac{x^3}{6}+\sin x=h(x)$, positive sur $[0,+\infty [$ par le c). Donc $k$ est croissante sur $[0,+\infty [$ et $k(0)=0$ : $k\ge 0$ sur $[0,+\infty [$. Enfin $k$ est paire, donc $k\ge 0$ sur $\mathbb{R}$ tout entier : $\cos x\le 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$.

Le point délicat : l'ordre des étapes. Chaque encadrement sert à établir le signe de la dérivée du suivant : le b) donne $h^{\prime }\ge 0$, le c) donne $k^{\prime }\ge 0$. Et les intervalles comptent : le c) n'est démontré que pour $x\ge 0$ — pour $x<0$, les inégalités s'inversent, le sinus étant impair —, alors que le d) vaut partout, grâce à la parité de $k$.

e) Le pendule. Soit $0<\theta \le {\theta }_0$. Par le c), $0\le \theta -\sin \theta \le \frac{{\theta }^3}{6}$, donc l'écart relatif vérifie $$\frac{|\sin \theta -\theta |}{|\theta |}=\frac{\theta -\sin \theta }{\theta }\le \frac{{\theta }^2}{6}\le \frac{{\theta }_0^2}{6}.$$ Pour $-{\theta }_0\le \theta <0$, le sinus étant impair, l'écart relatif en $\theta$ est le même qu'en $-\theta$ : la borne vaut encore. L'approximation est garantie à $1\%$ près dès que $\frac{{\theta }_0^2}{6}\le 0,01$, c'est-à-dire ${\theta }_0\le \sqrt{0,06}\approx 0,245$ rad, soit environ $14,0^{\circ }$.

Pour l'énergie potentielle, le b) et le d) donnent, pour tout réel $\theta$, $0\le \frac{{\theta }^2}{2}-(1-\cos \theta )\le \frac{{\theta }^4}{24}$ ; l'écart relatif à l'approximation $\frac{{\theta }^2}{2}$ est donc au plus $\frac{{\theta }^4/24}{{\theta }^2/2}=\frac{{\theta }^2}{12}\le \frac{{\theta }_0^2}{12}$. La garantie à $1\%$ près vaut dès que ${\theta }_0\le \sqrt{0,12}\approx 0,346$ rad, soit environ $19,8^{\circ }$.

Contrôle numérique. À $20^{\circ }$, soit $0,3491$ rad, l'erreur réelle sur le sinus est $2,02\%$, et la borne $\frac{{\theta }^2}{6}$ donne $2,03\%$ : elle est presque exacte. Les quatre encadrements ont été vérifiés numériquement sur $[-20,20]$.

Ce que l'exercice installe. Chaque encadrement de $\sin$ et de $\cos$ près de $0$ se déduit du précédent par une étude de signe : on vient d'écrire, avec leur erreur garantie, les premiers termes de ce que le chapitre d'analyse asymptotique appellera les développements limités, $\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$ et $\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$, et que l'inégalité de Taylor-Lagrange généralisera. En physique, c'est l'approximation linéaire du pendule simple : remplacer $\sin \theta$ par $\theta$ transforme l'équation du mouvement en celle d'un oscillateur harmonique, et l'on sait maintenant jusqu'à quelle amplitude on a le droit de le faire.