mathématiques (PCSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Majorer l'erreur sur un produit et sur un quotient

Calcul algébrique et trigonométrie · E. Inégalités, valeur absolue, parties bornées · niveau 2

Énoncé

Soient $x_{0}$ , $y_{0}$ deux réels non nuls, et $x$ , $y$ deux réels. On note $ε_{x} = \frac{∣ x - x _{0} ∣}{∣ x _{0} ∣}$ et $ε_{y} = \frac{∣ y - y _{0} ∣}{∣ y _{0} ∣}$ les écarts relatifs.

a) Vérifier que $x y - x_{0} y_{0} = x_{0} (y - y_{0}) + y_{0} (x - x_{0}) + (x - x_{0}) (y - y_{0})$ , et en déduire $\frac{∣ x y - x _{0} y _{0} ∣}{∣ x _{0} y _{0} ∣} \leq ε_{x} + ε_{y} + ε_{x} ε_{y} .$

b) On suppose $ε_{y} < 1$ . Montrer que $∣ y ∣ \geq (1 - ε_{y}) ∣ y_{0} ∣$ — en particulier $y \neq = 0$ —, puis que $\frac{1}{y} - \frac{1}{y _{0}} \leq \frac{ε _{y}}{1 - ε _{y}} \cdot \frac{1}{∣ y _{0} ∣} .$

c) En déduire que, si $ε_{y} < 1$ , $\frac{\frac{x}{y} - \frac{x _{0}}{y _{0}}}{\frac{x _{0}}{y _{0}}} \leq \frac{ε _{x} + ε _{y}}{1 - ε _{y}},$ et montrer que cette majoration est atteinte (prendre $x_{0}, y_{0} > 0$ , $x = x_{0} (1 + ε_{x})$ et $y = y_{0} (1 - ε_{y})$ ).

d) Montrer par récurrence que, pour tout $n \in N^{*}$ , $\frac{∣ x ^{n} - x _{0}^{n} ∣}{∣ x _{0} ∣ ^{n}} \leq (1 + ε_{x})^{n} - 1$ .

e) On détermine une résistance par $R = \frac{U}{I}$ , avec $U = 5, 00$ V mesurée à $1 %$ près et $I = 0, 250$ A mesurée à $2 %$ près. Majorer l'écart relatif sur $R$ . Que devient la majoration du c) lorsque $ε_{x}$ et $ε_{y}$ sont petits devant $1$ ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'inégalité triangulaire $∣ u + v ∣ \leq ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ et sa seconde forme $∣ u ∣ - ∣ v ∣ \leq ∣ u - v ∣$ ; la relation $∣ uv ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣$ ; la règle d'or du cours : pour majorer un quotient de réels positifs, on majore le numérateur et l'on minore le dénominateur. La stratégie tient en deux gestes : ajouter et retrancher un terme croisé pour faire apparaître les écarts, et minorer un dénominateur par la seconde inégalité triangulaire.

a) Le produit. Développons le membre de droite de l'identité : $x_{0} y - x_{0} y_{0} + x y_{0} - x_{0} y_{0} + x y - x y_{0} - x_{0} y + x_{0} y_{0} = x y - x_{0} y_{0} .$ Par l'inégalité triangulaire, puis $∣ uv ∣ = ∣ u ∣ ∣ v ∣$ : $∣ x y - x_{0} y_{0} ∣ \leq ∣ x_{0} ∣ ∣ y - y_{0} ∣ + ∣ y_{0} ∣ ∣ x - x_{0} ∣ + ∣ x - x_{0} ∣ ∣ y - y_{0} ∣ .$ En divisant par $∣ x_{0} y_{0} ∣ > 0$ , chaque terme devient un écart relatif ou un produit d'écarts relatifs : c'est la majoration annoncée.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour b), je dois minorer $∣ y ∣$ , mais l'inégalité triangulaire me donne $∣ y ∣ \leq ∣ y_{0} ∣ + ∣ y - y_{0} ∣$ : c'est une majoration, dans le mauvais sens.

Il te faut l'autre forme de l'inégalité triangulaire, celle qui porte sur une différence de valeurs absolues. Laquelle, et quelle minoration de $∣ y ∣$ en tires-tu à l'aide de $∣ y_{0} ∣$ et de $∣ y - y_{0} ∣$ ?

Élève

$∣ y ∣ - ∣ y_{0} ∣ \leq ∣ y - y_{0} ∣$ , donc $∣ y ∣$ est au moins $∣ y_{0} ∣ - ∣ y - y_{0} ∣$ , et $∣ y - y_{0} ∣$ s'écrit avec $ε_{y}$ .

Bien. À quoi sert alors l'hypothèse $ε_{y} < 1$ ? Pour l'inverse, mets $\frac{1}{y} - \frac{1}{y _{0}}$ au même dénominateur : quel morceau du quotient vas-tu majorer, lequel minorer, et avec quelles inégalités ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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