Majorer l'erreur sur un produit et sur un quotient

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'inégalité triangulaire $|u+v|\le |u|+|v|$ et sa seconde forme $||u|-|v||\le |u-v|$ ; la relation $|uv|=|u||v|$ ; la règle d'or du cours : pour majorer un quotient de réels positifs, on majore le numérateur et l'on minore le dénominateur. La stratégie tient en deux gestes : ajouter et retrancher un terme croisé pour faire apparaître les écarts, et minorer un dénominateur par la seconde inégalité triangulaire.

a) Le produit. Développons le membre de droite de l'identité : $$x_{0}y-x_0{y}_0+x{y}_0-x_0{y}_0+xy-x{y}_0-x_{0}y+x_0{y}_0=xy-x_0{y}_0.$$ Par l'inégalité triangulaire, puis $|uv|=|u||v|$ : $$|xy-x_0{y}_0|\le |x_0||y-y_0|+|y_0||x-x_0|+|x-x_0||y-y_0|.$$ En divisant par $|x_0{y}_0|>0$, chaque terme devient un écart relatif ou un produit d'écarts relatifs : c'est la majoration annoncée.

b) L'inverse. La seconde inégalité triangulaire donne $|y|\ge |y_0|-|y-y_0|=(1-{\epsilon }_y)|y_0|$, strictement positif puisque ${\epsilon }_y<1$ : en particulier $y\ne 0$. Alors, en majorant le numérateur et en minorant le dénominateur, tous deux positifs : $$\left|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}\right|=\frac{|y_0-y|}{|y||y_0|}\le \frac{{\epsilon }_y|y_0|}{(1-{\epsilon }_y)|y_0{|}^2}=\frac{{\epsilon }_y}{1-{\epsilon }_y}\cdot \frac{1}{|y_0|}.$$

Le point délicat. Sans l'hypothèse ${\epsilon }_y<1$, rien n'empêche $y$ d'être nul : une mesure du dénominateur à plus de $100\%$ près ne dit même pas si le quotient existe. C'est la minoration du dénominateur qui porte tout le b).

c) Le quotient. Écrivons $\frac{x}{y}=x\cdot \frac{1}{y}$ et $\frac{x_0}{y_0}=x_0\cdot \frac{1}{y_0}$ : c'est un produit, auquel on applique le a) avec $\frac{1}{y}$ à la place de $y$. Par le b), l'écart relatif de $\frac{1}{y}$ à $\frac{1}{y_0}$ est ${\epsilon }^{\prime }=|y_0|\left|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}\right|\le \frac{{\epsilon }_y}{1-{\epsilon }_y}$. Le a) donne pour le quotient un écart relatif au plus $${\epsilon }_x+{\epsilon }^{\prime }+{\epsilon }_x{\epsilon }^{\prime }={\epsilon }_x+(1+{\epsilon }_x){\epsilon }^{\prime }\le {\epsilon }_x+\frac{(1+{\epsilon }_x){\epsilon }_y}{1-{\epsilon }_y}=\frac{{\epsilon }_x+{\epsilon }_y}{1-{\epsilon }_y},$$ la dernière égalité s'obtenant en réduisant au même dénominateur : ${\epsilon }_x(1-{\epsilon }_y)+(1+{\epsilon }_x){\epsilon }_y={\epsilon }_x+{\epsilon }_y$.

La majoration est atteinte. Avec $x_0,y_0>0$, $x=x_0(1+{\epsilon }_x)$ et $y=y_0(1-{\epsilon }_y)$, on a $\frac{x}{y}=\frac{x_0}{y_0}\cdot \frac{1+{\epsilon }_x}{1-{\epsilon }_y}$, et l'écart relatif vaut $\frac{1+{\epsilon }_x}{1-{\epsilon }_y}-1=\frac{{\epsilon }_x+{\epsilon }_y}{1-{\epsilon }_y}$ : c'est la borne. Le pire cas est un numérateur surestimé et un dénominateur sous-estimé.

d) Les puissances. Récurrence sur $n\ge 1$. Pour $n=1$, l'écart relatif de $x$ vaut ${\epsilon }_x=(1+{\epsilon }_x)-1$. Supposons que l'écart relatif de $x^n$ à $x_0^n$ soit au plus $e_n=(1+{\epsilon }_x{)}^n-1$. Le a), appliqué au produit $x^n\cdot x$, donne pour $x^{n+1}$ un écart relatif au plus $$e_n+{\epsilon }_x+e_n{\epsilon }_x=(1+e_n)(1+{\epsilon }_x)-1=(1+{\epsilon }_x{)}^{n+1}-1.$$ (La majoration du a) est croissante en chacun des deux écarts : on a le droit d'y remplacer l'écart de $x^n$ par son majorant $e_n$.) La récurrence est établie.

e) La résistance. Ici $x_0=U=5,00$ V et $y_0=I=0,250$ A, donc $R_0=20,0\Omega$, avec ${\epsilon }_x=0,01$ et ${\epsilon }_y=0,02$. Le c) garantit $$\frac{|R-R_0|}{R_0}\le \frac{0,01+0,02}{1-0,02}=\frac{0,03}{0,98}\approx 3,06\%.$$ Lorsque ${\epsilon }_x$ et ${\epsilon }_y$ sont petits devant $1$, le dénominateur $1-{\epsilon }_y$ est presque $1$ : les écarts relatifs s'ajoutent, ${\epsilon }_R\approx {\epsilon }_U+{\epsilon }_I=3\%$, à un terme correctif près d'ordre ${\epsilon }_x{\epsilon }_y$ et ${\epsilon }_y^2$.

Ce que l'exercice installe. Deux gestes qui reviendront partout : ajouter et retrancher un terme croisé — c'est la démonstration de la limite d'un produit, au chapitre des suites — et minorer un dénominateur avant de majorer un quotient. En physique, c'est la règle « les écarts relatifs s'ajoutent » pour un produit ou un quotient, dans le pire des cas. Pour des erreurs aléatoires indépendantes, les physiciens composent plutôt les incertitudes-types en somme quadratique, ici $\sqrt{0,01^2+0,02^2}\approx 2,2\%$ : la majoration de l'exercice est la borne sûre, celle qui ne suppose rien.