Plus d'inconnues que d'équations

Stratégie : récurrence sur le nombre d'équations, en pratiquant le pivot. Chaque étape du pivot élimine une inconnue au prix d'une équation : le déficit « une inconnue de plus que d'équations » se conserve donc, et l'on descend jusqu'à un système sans équation, où toute valeur convient. On construit ainsi la solution non nulle au lieu de se contenter d'affirmer son existence.

L'énoncé, précisé. Un système homogène de $p$ équations à $n$ inconnues s'écrit : tous les seconds membres sont nuls. Le $n$-uplet nul en est toujours solution ; il s'agit d'en trouver une autre. Notons

$$Q(p):\text{tout systeˋme homogeˋne de }p\text{ eˊquations aˋ }n>p\text{ inconnues admet une solution non nulle,}$$

et démontrons $Q(p)$ par récurrence sur $p\ge 0$.

Initialisation, $p=0$. Il n'y a aucune équation, donc aucune contrainte : avec $n\ge 1$ inconnues, le $n$-uplet $(1,0,\dots ,0)$ convient et n'est pas nul.

Hérédité. Soit $p\ge 0$ tel que $Q(p)$ soit vraie, et soit un système homogène de $p+1$ équations à $n$ inconnues, avec $n>p+1$. Deux cas.

Cas 1 : la première équation a tous ses coefficients nuls. Elle s'écrit $0=0$ : elle est vérifiée par tout $n$-uplet et peut être supprimée. Il reste $p$ équations à $n$ inconnues avec $n>p+1>p$. L'hypothèse $Q(p)$ fournit une solution non nulle, qui convient aussi au système de départ.

Cas 2 : la première équation a un coefficient non nul. Notons $a$ le coefficient de l'inconnue $x_{j_0}$ dans cette équation, avec $a\ne 0$. Pour chaque $i\ge 2$, notons $b_i$ le coefficient de $x_{j_0}$ dans la $i$-ième équation, et effectuons l'opération élémentaire

$$L_i\leftarrow L_i-\frac{b_i}{a}{L}_1.$$

Elle est licite — c'est l'ajout à une ligne d'un multiple d'une autre — et le cours garantit qu'elle donne un système équivalent. Dans le nouveau système, l'inconnue $x_{j_0}$ a disparu des équations $2$ à $p+1$, qui forment donc un système homogène de $p$ équations aux $n-1$ inconnues restantes. Comme $n>p+1$, on a $n-1>p$ : l'hypothèse $Q(p)$ s'applique et fournit des valeurs, non toutes nulles, pour ces $n-1$ inconnues.

Il reste à fixer $x_{j_0}$. La première équation, où le coefficient $a$ est non nul, se résout en $x_{j_0}$ : on lui donne l'unique valeur qui l'annule, ce qui est possible précisément parce que $a\ne 0$. Le $n$-uplet ainsi complété est solution du système, et il n'est pas nul, puisque l'une au moins des $n-1$ autres coordonnées ne l'est pas.

⚠️ Le point délicat est de vérifier que la solution obtenue n'est pas nulle. L'hypothèse de récurrence donne une solution non nulle des $n-1$ inconnues restantes ; c'est ce qui garantit que le $n$-uplet complet est non nul, quelle que soit la valeur imposée à $x_{j_0}$. Si l'on avait construit la solution dans l'autre sens, en partant de $x_{j_0}$, rien n'assurerait la conclusion.

La récurrence est établie, donc $Q(p)$ est vraie pour tout $p$.

Contrôle sur un exemple. Prenons deux équations à trois inconnues : $x+y+z=0$ et $x-y+2z=0$. L'opération $L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $-2y+z=0$, soit $z=2y$. En reportant, $x=-y-z=-3y$. Le triplet $(-3,1,2)$ est solution et n'est pas nul : $-3+1+2=0$ ✔ et $-3-1+4=0$ ✔. Un tirage de deux cents systèmes homogènes aléatoires avec plus d'inconnues que d'équations trouve à chaque fois une solution non nulle.

Ce que l'exercice installe. Le premier résultat de structure du cours d'algèbre linéaire : le nombre d'inconnues et le nombre d'équations ne sont pas des détails de rédaction, ils déterminent à eux seuls l'existence de solutions. Cet énoncé reviendra sous une forme plus puissante — « une famille de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $p<n$ est liée » — et c'est déjà lui qui travaille ici.