mathématiques (PCSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Problème — La formule de Viète pour $π$ et la méthode d'Archimède

Calcul algébrique et trigonométrie · H. Formules d'addition, duplication et linéarisation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Montrer que pour tout $x \in R$ et tout $n \in N^{*}$ : $2^{n} sin \frac{x}{2 ^{n}} k = 1 \prod n cos \frac{x}{2 ^{k}} = sin x .$

2) Soit $x \in] 0, π]$ . En déduire une expression de $P_{n} (x) = k = 1 \prod n cos \frac{x}{2 ^{k}}$ , puis, à l'aide de l'exercice 9, montrer que $P_{n} (x) n \to + \infty \frac{sin x}{x}$ .

3) Pour $k \geq 1$ , on pose $c_{k} = cos \frac{π}{2 ^{k + 1}}$ . Montrer que $c_{1} = \frac{2}{2}$ et que $c_{k + 1} = \frac{1 + c _{k}}{2}$ , puis établir la formule de Viète : $\frac{2}{π} = n \to + \infty lim k = 1 \prod n c_{k},$ c'est-à-dire $\frac{2}{π} = \frac{2}{2} \cdot \frac{2 + 2}{2} \cdot \frac{2 + 2 + 2}{2} \dots$

4) Pour $n \geq 2$ , on note $s_{n}$ le demi-périmètre du polygone régulier à $2^{n}$ côtés inscrit dans le cercle unité. Montrer que $s_{n} = 2^{n} sin \frac{π}{2 ^{n}} = \frac{2}{c _{1} c _{2} \dots c _{n - 1}}$ : les produits partiels de Viète sont les approximations d'Archimède.

5) Montrer que $π - \frac{π ^{3}}{6 \cdot 4 ^{n}} \leq s_{n} \leq π$ .

6) À partir de quel $n$ cet encadrement garantit-il que $s_{n}$ approche $π$ à $1 0^{- 6}$ près ? Combien le polygone a-t-il alors de côtés ?

Corrigé de la question 1

1) Le produit télescopique. L'idée. La duplication, écrite $cos \frac{x}{2 ^{k}} = \frac{sin ( x / 2 ^{k - 1} )}{2 sin ( x / 2 ^{k} )}$ lorsque le dénominateur n'est pas nul, fait du produit un télescopage multiplicatif : les sinus intermédiaires se simplifient en cascade. Pour une preuve valable pour tout réel $x$ , y compris lorsqu'un sinus s'annule, on raisonne par récurrence sur $n$ , sans jamais diviser.

Initialisation. Pour $n = 1$ , le membre de gauche vaut $2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} = sin x$ , par la duplication.

Hérédité. Supposons l'égalité vraie au rang $n$ . Au rang $n + 1$ , on isole le dernier facteur du produit et l'on applique la duplication à l'angle $\frac{x}{2 ^{n + 1}}$ : $2^{n + 1} sin \frac{x}{2 ^{n + 1}} cos \frac{x}{2 ^{n + 1}} k = 1 \prod n cos \frac{x}{2 ^{k}} = 2^{n} sin \frac{x}{2 ^{n}} k = 1 \prod n cos \frac{x}{2 ^{k}} = sin x .$ L'égalité est vraie au rang $n + 1$ , donc pour tout $n \geq 1$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Soit $x \in] 0, π]$ . En déduire une expression de $P_{n} (x) = k = 1 \prod n cos \frac{x}{2 ^{k}}$ , puis, à l'aide de l'exercice 9, montrer que $P_{n} (x) n \to + \infty \frac{sin x}{x}$ .

Élève

Pour le 2), le 1) me donne $P_{n} (x)$ en divisant par $2^{n} sin \frac{x}{2 ^{n}}$ . Pour la limite, j'ai envie de dire que $sin \frac{x}{2 ^{n}}$ se comporte comme $\frac{x}{2 ^{n}}$ , mais on n'a pas encore les équivalents à ce stade.

D'abord, as-tu le droit de diviser : pourquoi $sin \frac{x}{2 ^{n}}$ est-il non nul pour $x \in] 0, π]$ ? Ensuite, l'exercice 9 fournit un encadrement de $sin u$ pour $u > 0$ : comment t'en servir pour encadrer $2^{n} sin \frac{x}{2 ^{n}}$ ?

Élève

Pour $x \in] 0, π]$ , $\frac{x}{2 ^{n}}$ est dans $] 0, \frac{π}{2}]$ , donc le sinus est strictement positif. Avec $u_{n} = \frac{x}{2 ^{n}}$ et $u - \frac{u ^{3}}{6} \leq sin u \leq u$ , je multiplie tout par $2^{n}$ .

Bien. Que devient $2^{n} u_{n}^{3}$ exprimé avec $x$ et $n$ , et quel théorème donne alors la limite de $2^{n} sin \frac{x}{2 ^{n}}$ ? Comment passes-tu ensuite à celle de $P_{n} (x)$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Problème — La formule de Viète pour π et la méthode d'Archimède

Énoncé

Corrigé de la question 1

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