Résolution d'un système linéaire par le pivot

Calcul algébrique et trigonométrie · D. Systèmes linéaires et algorithme du pivot · niveau 2

Énoncé

Résoudre dans $R^{3}$ le système linéaire suivant :

$⎩ ⎨ ⎧ x - y + z = 1 2 x + y - z = 2 x + 2 y - 2 z = 1$

Corrigé

Appliquons l'algorithme du pivot :

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne : $3 y - 3 z = 0 \Rightarrow y = z$ .
$L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donne : $3 y - 3 z = 0 \Rightarrow y = z$ .

Le système se réduit donc à :

${x - y + z = 1 y = z ⟹ {x = 1 y = z$

Les solutions sont l'ensemble des triplets de la forme $(1, z, z)$ pour tout $z \in R$ . Il y a donc une infinité de solutions (une droite de $R^{3}$ ).

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