Un système à paramètre et les valeurs qui annulent un pivot

La stratégie. L'algorithme du pivot, sans rien deviner : on élimine $x$ des lignes $2$ et $3$ grâce à la ligne $1$, dont le coefficient de $x$ vaut $1$ quel que soit $a$ — un pivot qui ne s'annule jamais. Puis, à chaque division, on se demande si le coefficient par lequel on divise peut être nul : ce sont exactement les valeurs de $a$ à discuter. Ce qu'on a le droit d'utiliser : les opérations élémentaires $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ et $L_i\leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \ne 0$, qui transforment un système en un système équivalent.

a) Première élimination. Les opérations $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-a{L}_1$ donnent le système équivalent $$\{\begin{array}{l}x+y+az=1\\ (a-1)y+(1-a)z=0\\ (1-a)y+(1-a^2)z=1-a\end{array}$$ La deuxième ligne s'écrit $(a-1)(y-z)=0$, la troisième $(1-a)(y+(1+a)z)=1-a$, car $1-a^2=(1-a)(1+a)$.

Cas $a=1$. Les lignes $2$ et $3$ deviennent $0=0$ : il ne reste que $x+y+z=1$, et l'ensemble des solutions est le plan $\{(1-y-z,y,z):(y,z)\in {\mathbb{R}}^2\}$ — les trois équations étaient la même.

Cas $a\ne 1$. On divise la ligne $2$ par $a-1$ et la ligne $3$ par $1-a$, non nuls : il reste $y-z=0$ et $y+(1+a)z=1$, puis, par $L_3\leftarrow L_3-L_2$, $$(a+2)z=1.$$

Sous-cas $a=-2$. L'équation s'écrit $0\cdot z=1$ : aucune solution.

Sous-cas $a\notin \{1,-2\}$. On remonte : $z=\frac{1}{a+2}$, $y=z$, et $x=1-y-az=1-\frac{1+a}{a+2}=\frac{1}{a+2}$. La solution est unique : $x=y=z=\frac{1}{a+2}$. Contrôle : pour $a=2$, chaque équation donne $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+2\times \frac{1}{4}=1$.

Géométriquement, chaque équation est celle d'un plan de ${\mathbb{R}}^3$. Pour $a=1$ les trois plans sont confondus ; pour $a\notin \{1,-2\}$ ils se coupent en un point de la droite $x=y=z$ ; pour $a=-2$ ils n'ont aucun point commun. La somme des trois équations, $(a+2)(x+y+z)=3$, voit ce dernier cas d'un coup : pour $a=-2$, elle s'écrit $0=3$.

b) Le système homogène. Les mêmes opérations, avec des seconds membres nuls, donnent : pour $a=1$, l'unique équation $x+y+z=0$ ; pour $a\ne 1$, $y=z$, $(a+2)z=0$, et $x=-y-az=-(1+a)z$.

Si $a\notin \{1,-2\}$, alors $z=0$, puis $y=0$ et $x=0$ : seule la solution nulle.

Si $a=1$, les solutions forment le plan d'équation $x+y+z=0$, qui contient des triplets non nuls, comme $(1,-1,0)$.

Si $a=-2$, $z$ est libre, $y=z$ et $x=-(1-2)z=z$ : les solutions forment la droite $\{(t,t,t):t\in \mathbb{R}\}$.

Le système homogène a une solution non nulle exactement pour les valeurs de $a$ qui annulent un pivot, $1$ et $-2$. Géométriquement, trois plans passant par l'origine ont toujours l'origine en commun ; ils ont d'autres points communs quand ils sont confondus ($a=1$), ou quand ils contiennent une même droite ($a=-2$).

c) Une question de « valeurs propres ». Les égalités $x+y+z=\lambda x$, $x+y+z=\lambda y$ et $x+y+z=\lambda z$ s'écrivent $$\{\begin{array}{l}(1-\lambda )x+y+z=0\\ x+(1-\lambda )y+z=0\\ x+y+(1-\lambda )z=0\end{array}$$ Avec $a=1-\lambda$, c'est le système homogène du b), à l'échange des lignes $1$ et $3$ près — opération élémentaire qui ne change pas les solutions. Il a une solution non nulle si et seulement si $1-\lambda \in \{1,-2\}$, c'est-à-dire $\lambda \in \{0,3\}$. Pour $\lambda =0$ : les triplets de somme nulle, comme $(1,-1,0)$, pour lequel les quatre membres sont nuls. Pour $\lambda =3$ : les triplets $(t,t,t)$, pour lesquels $x+y+z=3t=3x=3y=3z$.

Le point délicat. Une discussion ne se fait pas au jugé : les valeurs à isoler sont celles qui annulent un pivot — ici $1$, puis $-2$ — et rien d'autre. Diviser sans discuter, c'est perdre le plan du cas $a=1$ et annoncer une solution unique là où il n'y en a aucune.

Ce que l'exercice installe. Trois natures d'ensemble de solutions pour un même système — un point, un plan, le vide —, que le pivot distingue mécaniquement ; et le lien entre « le système a une solution unique » et « le système homogène n'a que la solution nulle ». Le chapitre des déterminants résumera la discussion en un nombre, $-(a-1{)}^2(a+2)$, nul exactement pour $a\in \{1,-2\}$. Et la question du c) — pour quels $\lambda$ l'équation « $AX=\lambda X$ » a-t-elle une solution non nulle ? — est celle que la seconde année appellera la recherche des valeurs propres ; c'est elle qui donnera, en physique, les modes propres des oscillateurs couplés.