Ce que les transformations font à un cercle

Stratégie : décomposer chaque transformation en gestes élémentaires, et suivre le centre et le rayon. Une rotation, une homothétie de centre l'origine, une translation, une symétrie axiale envoient toutes un cercle sur un cercle : il suffit donc de savoir où part le centre et ce que devient le rayon. Aucun calcul sur les points du cercle n'est nécessaire.

Le cercle de départ. L'ensemble $\mathcal{C}=\{z:|z-1|=1\}$ est le cercle de centre le point $\Omega$ d'affixe $1$ et de rayon $1$. Il passe par l'origine et par le point d'affixe $2$.

1) L'application $z\mapsto iz$. On a $i=e^{i\pi /2}$, de module $1$ : c'est la rotation de centre l'origine et d'angle $\frac{\pi }{2}$. Une rotation conserve les distances, donc le rayon reste $1$, et le centre part sur l'image de $1$, à savoir $i$.

$$\text{Image}:\{z:|z-i|=1\},$$

le cercle de centre le point d'affixe $i$ et de rayon $1$.

2) L'application $z\mapsto 2z$. Le nombre $2$ est réel positif : c'est l'homothétie de centre l'origine et de rapport $2$. Elle multiplie toutes les distances par $2$ : le rayon devient $2$, et le centre part sur $2$.

$$\text{Image}:\{z:|z-2|=2\}.$$

3) L'application $z\mapsto \overline{z}$. C'est la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels. Elle conserve les distances, donc le rayon reste $1$, et le centre part sur $\overline{1}=1$.

$$\text{Image}:\{z:|z-1|=1\}=\mathcal{C}.$$

Le cercle est donc globalement invariant : c'est normal, son centre est sur l'axe de symétrie.

⚠️ Attention à ce que « invariant » veut dire. Le cercle revient sur lui-même, mais ses points sont déplacés : le point d'affixe $1+i$ part sur $1-i$. On dit que le cercle est globalement invariant, non point par point. Confondre les deux est une faute courante et lourde de conséquences en géométrie.

4) L'application $z\mapsto iz+2$. Elle se décompose en deux gestes : d'abord la rotation $z\mapsto iz$ étudiée au 1), puis la translation de vecteur d'affixe $2$. Après la rotation, on a le cercle de centre $i$ et de rayon $1$ ; la translation conserve le rayon et déplace le centre de $i$ à $i+2$.

$$\text{Image}:\{z:|z-(2+i)|=1\}.$$

La méthode générale. Pour $z\mapsto az+b$ avec $a\ne 0$, on écrit $a=|a|e^{i\alpha }$ : la transformation est la composée d'une rotation d'angle $\alpha$, d'une homothétie de rapport $|a|$ — toutes deux de centre l'origine — et d'une translation de vecteur d'affixe $b$. L'image du cercle de centre $\omega$ et de rayon $r$ est donc le cercle de centre $a\omega +b$ et de rayon $|a|r$.

Contrôle numérique. Vérifions le cas $4$ sur un point. Le point d'affixe $2$ est sur $\mathcal{C}$, puisque $|2-1|=1$. Son image est $2i+2$. Or $|(2i+2)-(2+i)|=|i|=1$ : il est bien sur le cercle annoncé. ✔ Et l'origine, elle aussi sur $\mathcal{C}$, a pour image $2$, dont la distance à $2+i$ vaut $|-i|=1$. ✔ Un balayage complet du cercle de départ, au pas de $10^{-3}$ radian, confirme les quatre images à $10^{-9}$ près.

Ce que l'exercice installe. Une transformation du plan écrite en complexes se lit d'un coup d'œil : le module de $a$ donne le rapport d'agrandissement, l'argument de $a$ donne l'angle de rotation, et $b$ donne le déplacement. On n'a jamais besoin de calculer l'image de chaque point d'une figure — il suffit de suivre les quelques nombres qui la déterminent. C'est le point de départ de l'étude des similitudes du plan.