Deux questions qui n'en font qu'une

Stratégie : ramener toute égalité d'exponentielles à une différence. L'exponentielle complexe ne s'annule jamais, donc $e^u=e^v$ équivaut à $e^{u-v}=1$, et le cours donne : $e^w=1$ si et seulement si $w\in 2i\pi \mathbb{Z}$. Les deux questions vont alors se révéler être la même question.

Mise en place. Écrivons $z=x+iy$ avec $x,y$ réels, de sorte que $\overline{z}=x-iy$ et

$$z-\overline{z}=2iy.$$

1) L'équation $e^z=e^{\overline{z}}$. Puisque $e^{\overline{z}}\ne 0$, on peut diviser :

$$e^z=e^{\overline{z}}⟺e^{z-\overline{z}}=1⟺2iy\in 2i\pi \mathbb{Z}⟺y\in \pi \mathbb{Z}.$$

L'ensemble des solutions est donc

$$\left\{x+ik\pi :x\in \mathbb{R},k\in \mathbb{Z}\right\},$$

c'est-à-dire la famille des droites horizontales d'ordonnées multiples entiers de $\pi$ : l'axe des réels, puis les droites d'ordonnée $\pm \pi$, $\pm 2\pi$, et ainsi de suite.

2) L'équation $e^z\in \mathbb{R}$. Le cours donne $e^z=e^x\left(\cos y+i\sin y\right)$, où $e^x>0$. Ce nombre est réel si et seulement si sa partie imaginaire, $e^x\sin y$, est nulle. Comme $e^x$ ne s'annule jamais, cela équivaut à $\sin y=0$, c'est-à-dire

$$y\in \pi \mathbb{Z}.$$

C'est exactement le même ensemble qu'à la question 1.

⚠️ Ce n'est pas une coïncidence, et voici pourquoi. La conjugaison commute avec l'exponentielle : $\overline{e^z}=e^{\overline{z}}$, comme on le voit en écrivant $\overline{e^x(\cos y+i\sin y)}=e^x(\cos y-i\sin y)=e^x\left(\cos (-y)+i\sin (-y)\right)=e^{x-iy}$ — au facteur $e^x$ près, tout est dans la parité du cosinus et l'imparité du sinus. Donc

$$e^z=e^{\overline{z}}⟺e^z=\overline{e^z}⟺e^z\in \mathbb{R}.$$

Les deux questions sont la même, et cette identité en donne la raison — là où le calcul en $x$ et $y$ n'en donnait que la coïncidence.

Contrôle numérique. Prenons $z=2+i\pi$ : alors $e^z=e^2\left(\cos \pi +i\sin \pi \right)=-e^2\approx -7,389$, un réel, et $e^{\overline{z}}=e^{2-i\pi }=-e^2$ également. ✔ Prenons maintenant $z=1+i$ : $e^z\approx 1,469+2,287i$, qui n'est pas réel, et $e^{\overline{z}}\approx 1,469-2,287i$ en diffère. ✔ Vingt mille tirages aléatoires confirment, pour chacune des deux conditions, qu'elle est vérifiée exactement lorsque $\sin (\mathrm{Im}z)=0$.

Ce que l'exercice installe. D'abord le mécanisme : toute équation en $e^z$ se résout en isolant une exponentielle égale à $1$ et en invoquant la périodicité $2i\pi$. Ensuite un fait de fond : l'exponentielle complexe n'est pas injective, sa périodicité imaginaire crée une infinité de solutions là où l'exponentielle réelle en donnait une seule. Et enfin une habitude à prendre : avant de calculer, chercher si deux questions apparemment distinctes ne sont pas la même — ici, une seule identité, $\overline{e^z}=e^{\overline{z}}$, remplace deux résolutions.