mathématiques (PCSI) · Chapitre 3 · Application directe du cours

Forme algébrique

Nombres complexes · A. Forme algébrique et premiers calculs · niveau 1 (application)

Énoncé

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

$z_{1} = \frac{3 + 2 i}{1 - i}, z_{2} = (2 - i)^{3}, z_{3} = \frac{1}{i ^{2025}} .$

Pour $z_{1}$ , on multiplie par la quantité conjuguée du dénominateur :

$z_{1} = \frac{( 3 + 2 i ) ( 1 + i )}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{3 + 3 i + 2 i - 2}{2} = \frac{1 + 5 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i .$

Pour $z_{2}$ , par le binôme : $(2 - i)^{3} = 8 - 3 \cdot 4 i + 3 \cdot 2 i^{2} - i^{3} = 8 - 12 i - 6 + i = 2 - 11 i$ .

Pour $z_{3}$ : $i^{4} = 1$ et $2025 = 4 \times 506 + 1$ , donc $i^{2025} = i$ , puis $z_{3} = \frac{1}{i} = - i$ .