Le pentagone régulier et le nombre d'or

Stratégie : transformer une identité géométrique en équation algébrique. Les cinq racines cinquièmes de l'unité sont les sommets d'un pentagone régulier, et leur somme est nulle — c'est le centre de gravité, qui est l'origine. En regroupant les sommets conjugués deux à deux, cette somme de complexes devient une somme de cosinus, puis, par duplication, une équation du second degré.

1) Le regroupement des sommets. Posons $\omega =e^{2i\pi /5}$. Le cours donne

$$1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4=0.$$

Or ${\omega }^4=e^{8i\pi /5}=e^{-2i\pi /5}=\overline{\omega }$ et, de même, ${\omega }^3=\overline{{\omega }^2}$. Un nombre ajouté à son conjugué vaut deux fois sa partie réelle, donc

$$\omega +{\omega }^4=2\cos \frac{2\pi }{5},{\omega }^2+{\omega }^3=2\cos \frac{4\pi }{5},$$

et l'identité devient

$$1+2\cos \frac{2\pi }{5}+2\cos \frac{4\pi }{5}=0.$$

2) La duplication. Posons $x=2\cos \frac{2\pi }{5}$. La formule $\cos 2u=2{\cos }^{2}u-1$, appliquée à $u=\frac{2\pi }{5}$, donne

$$2\cos \frac{4\pi }{5}=2\left(2{\cos }^2\frac{2\pi }{5}-1\right)=4{\cos }^2\frac{2\pi }{5}-2=x^2-2,$$

puisque $4{\cos }^{2}u=(2\cos u{)}^2=x^2$. L'identité s'écrit alors $1+x+x^2-2=0$, c'est-à-dire

$$x^2+x-1=0.$$

3) Le choix de la racine. Le discriminant vaut $1+4=5$, donc les deux racines sont

$$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\text{et}x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$$

⚠️ C'est ici qu'il faut trancher, et par un argument de signe. L'angle $\frac{2\pi }{5}$ vaut $72$ degrés : il est compris entre $0$ et $\frac{\pi }{2}$, donc son cosinus est strictement positif, donc $x>0$. La seconde racine est négative puisque $\sqrt{5}>0$ ; elle est à écarter. Sans cet argument, l'exercice n'est pas fini : on aurait deux candidats et aucune raison de choisir.

Donc $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, et comme $x=2\cos \frac{2\pi }{5}$ :

$$\cos \frac{2\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.$$

Contrôle numérique. On a $\sqrt{5}\approx 2,2360680$, donc le membre de droite vaut $\frac{1,2360680}{4}\approx 0,3090170$. Et le cosinus de $72$ degrés vaut $0,3090170$. ✔ On vérifie aussi l'équation : avec $x\approx 0,6180340$, on trouve $x^2+x-1\approx 0,3819660+0,6180340-1=0$. ✔ Et la somme des cinq racines cinquièmes de l'unité, calculée numériquement, est nulle à $10^{-12}$ près.

Ce que l'exercice installe. La méthode : une relation entre racines de l'unité se transforme en équation algébrique dès qu'on regroupe les conjugués. Elle donnera de la même façon $\cos \frac{2\pi }{7}$, ou tout autre cosinus d'angle rationnel — au prix d'une équation de degré plus élevé. Et le nombre trouvé n'est pas quelconque : $x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ est l'inverse du nombre d'or. C'est lui qui donne au pentagone régulier ses proportions, et qui explique que les diagonales du pentagone se coupent en des points remarquables.