mathématiques (PCSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Le produit des cordes du polygone régulier

Nombres complexes · F. Racines $n$ -ièmes de l'unité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $n \geq 2$ et $ω = e^{2 iπ / n}$ .

a) Montrer que $ω, ω^{2}, \dots, ω^{n - 1}$ sont $n - 1$ racines distinctes de $Q (z) = 1 + z + \dots + z^{n - 1}$ , et en déduire, par factorisations successives, que $Q (z) = k = 1 \prod n - 1 (z - ω^{k})$ pour tout $z \in C$ .

b) En déduire que $k = 1 \prod n - 1 (1 - ω^{k}) = n$ , puis que le produit des longueurs des $n - 1$ cordes issues d'un sommet du polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité vaut $n$ .

c) À l'aide de la technique de l'angle moitié, en déduire $k = 1 \prod n - 1 sin \frac{k π}{n} = \frac{n}{2 ^{n - 1}}$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La somme géométrique, la description de $U_{n}$ , la factorisation par $z - a$ d'une fonction polynomiale dont $a$ est racine — le quotient a un degré de moins et le même coefficient dominant —, et l'angle moitié.

La stratégie. C'est le geste « factoriser, puis évaluer » : on écrit $Q$ comme produit de facteurs du premier degré, puis on évalue cette identité en un point bien choisi, $z = 1$ , où le membre de gauche est évident et le membre de droite est le produit cherché.

a) Les racines, puis la factorisation. Pour $k \in {1, \dots, n - 1}$ , le nombre $ω^{k}$ est une racine $n$ -ième de l'unité différente de $1$ ; la somme géométrique s'applique : $Q (ω^{k}) = \frac{1 - ( ω ^{k} ) ^{n}}{1 - ω ^{k}} = \frac{1 - ( ω ^{n} ) ^{k}}{1 - ω ^{k}} = 0.$ Ces $n - 1$ racines sont deux à deux distinctes, puisque les éléments $ω^{0}, ω^{1}, \dots, ω^{n - 1}$ de $U_{n}$ le sont.

Les factorisations successives. Montrons par récurrence sur $m \in {0, \dots, n - 1}$ qu'il existe une fonction polynomiale $Q_{m}$ , de degré $n - 1 - m$ et de coefficient dominant $1$ , telle que $Q (z) = (z - ω) (z - ω^{2}) \dots (z - ω^{m}) Q_{m} (z) (z \in C),$ et telle que $Q_{m} (ω^{j}) = 0$ pour $m < j \leq n - 1$ . Pour $m = 0$ , on prend $Q_{0} = Q$ , de degré $n - 1$ et de coefficient dominant $1$ . Supposons le résultat au rang $m \leq n - 2$ . Le nombre $ω^{m + 1}$ est racine de $Q_{m}$ , qui est de degré au moins $1$ : on factorise, $Q_{m} (z) = (z - ω^{m + 1}) Q_{m + 1} (z)$ , où $Q_{m + 1}$ est de degré $n - 2 - m$ et de coefficient dominant $1$ . Et pour $j > m + 1$ : $0 = Q_{m} (ω^{j}) = (ω^{j} - ω^{m + 1}) Q_{m + 1} (ω^{j})$ , avec $ω^{j} \neq = ω^{m + 1}$ , donc $Q_{m + 1} (ω^{j}) = 0$ . Au rang $m = n - 1$ , la fonction $Q_{n - 1}$ est de degré $0$ et de coefficient dominant $1$ : c'est la constante $1$ . D'où $1 + z + \dots + z^{n - 1} = k = 1 \prod n - 1 (z - ω^{k}) (z \in C) .$

Le point délicat. Pour factoriser une deuxième fois, il faut que $ω^{2}$ soit encore racine du quotient $Q_{1}$ , et pas seulement de $Q$ : c'est vrai parce que $ω^{2} \neq = ω$ , ce qui permet de diviser par $ω^{2} - ω$ . Sans la distinction des racines, l'argument s'effondre.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le b), je veux évaluer en $z = 1$ , mais j'hésite : $Q (z) = \frac{z ^{n} - 1}{z - 1}$ n'est pas défini en $1$ . Faut-il passer à la limite quand $z \to 1$ ?

Reprends les définitions : comment $Q$ est-il défini dans l'énoncé, et pour quels $z$ l'égalité du a) a-t-elle été établie ?

Élève

$Q$ est défini comme $1 + z + \dots + z^{n - 1}$ , et l'égalité du a) vaut pour tout $z$ complexe. Donc je peux évaluer directement en $1$ , sans limite.

C'est cela. Pour la géométrie, les sommets du polygone ont pour affixes les $ω^{k}$ : comment s'exprime la longueur de la corde qui joint le sommet $1$ au sommet $ω^{k}$ , et quelle propriété te permet de passer du produit complexe au produit des longueurs ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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