Le quotient qui préserve le cercle et le disque unité

Ce qu'on a le droit d'utiliser. $|w{|}^2=w\overline{w}$, et le module d'un produit et d'un quotient.

La stratégie. Comparer deux modules est difficile ; comparer leurs carrés est un calcul, car un carré de module s'écrit $w\overline{w}$ et se développe. L'identité du a) décide alors de tout : son signe dit de quel côté du cercle unité tombe ${\phi }_a(z)$.

a) L'identité. Développons les deux carrés de modules, en utilisant $\overline{\overline{a}z}=a\overline{z}$ : $$|1-\overline{a}z{|}^2=(1-\overline{a}z)(1-a\overline{z})=1-a\overline{z}-\overline{a}z+|a{|}^2|z{|}^2,$$ $$|z-a{|}^2=(z-a)(\overline{z}-\overline{a})=|z{|}^2-\overline{a}z-a\overline{z}+|a{|}^2.$$ Dans la différence, les deux termes croisés $a\overline{z}$ et $\overline{a}z$ disparaissent : $$|1-\overline{a}z{|}^2-|z-a{|}^2=1+|a{|}^2|z{|}^2-|z{|}^2-|a{|}^2=\left(1-|a{|}^2\right)\left(1-|z{|}^2\right).$$

b) Le dénominateur, le cercle, le disque. Le dénominateur ne s'annule pas. Si $|z|\le 1$, alors $|\overline{a}z|=|a||z|\le |a|<1$ ; or $1-\overline{a}z=0$ imposerait $\overline{a}z=1$, de module $1$. Donc $1-\overline{a}z\ne 0$, et ${\phi }_a$ est définie sur tout le disque fermé.

Le cercle. Si $|z|=1$, le membre de droite de l'identité est nul, donc $|1-\overline{a}z{|}^2=|z-a{|}^2$, et en prenant les racines carrées de ces deux réels positifs, $|{\phi }_a(z)|=\frac{|z-a|}{|1-\overline{a}z|}=1$ : ${\phi }_a(z)\in \mathbb{U}$.

Le disque. Si $|z|<1$, les deux facteurs $1-|a{|}^2$ et $1-|z{|}^2$ sont strictement positifs : $|z-a{|}^2<|1-\overline{a}z{|}^2$, donc $|z-a|<|1-\overline{a}z|$ par croissance stricte de la racine carrée, et $|{\phi }_a(z)|<1$ : ${\phi }_a(z)\in D$.

Le point délicat. L'hypothèse $|a|<1$ sert deux fois : pour que le dénominateur ne s'annule pas sur le disque fermé, et pour que le facteur $1-|a{|}^2$ soit strictement positif, ce qui donne à l'identité le signe de $1-|z{|}^2$. Pour $|a|>1$, le signe s'inverserait.

c) La bijection. Comme $|-a|=|a|<1$, le b) appliqué à $-a$ montre que ${\phi }_{-a}:w\mapsto \frac{w+a}{1+\overline{a}w}$ est définie sur $D$ et envoie $D$ dans $D$. Calculons, pour $z\in D$ et $w={\phi }_a(z)$, en réduisant au même dénominateur $1-\overline{a}z$ : $$w+a=\frac{z-a+a-|a{|}^{2}z}{1-\overline{a}z}=\frac{\left(1-|a{|}^2\right)z}{1-\overline{a}z},$$ $$1+\overline{a}w=\frac{1-\overline{a}z+\overline{a}z-|a{|}^2}{1-\overline{a}z}=\frac{1-|a{|}^2}{1-\overline{a}z}.$$ Le quotient vaut $z$ : ${\phi }_{-a}({\phi }_a(z))=z$ pour tout $z\in D$. En échangeant les rôles de $a$ et de $-a$, le même calcul donne ${\phi }_a({\phi }_{-a}(w))=w$ pour tout $w\in D$. Les deux composées étant l'identité de $D$, l'application ${\phi }_a$ est une bijection de $D$ sur $D$, de réciproque ${\phi }_{-a}$. Comme ${\phi }_a(a)=0$, cette bijection amène le point $a$ au centre du disque.

Contrôle numérique. Pour $a=\frac{1}{2}$ et $z=i$, le numérateur $-\frac{1}{2}+i$ et le dénominateur $1-\frac{i}{2}$ ont tous deux pour module $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Vingt mille tirages de $a$ et de $z$ vérifient l'identité, l'inclusion ${\phi }_a(D)\subset D$ et la relation ${\phi }_{-a}\circ {\phi }_a=\mathrm{Id}$, à $10^{-9}$ près.

Ce que l'exercice installe. Comparer deux modules en comparant leurs carrés, calculés comme $w\overline{w}$ : c'est la méthode qui démontre l'inégalité triangulaire dans le cours, et elle vaut pour toute question de distance. Et une leçon de structure : pour montrer qu'une application est bijective, on exhibe une application qui la défait des deux côtés.