Lieu géométrique

Introduisons les points $A(1)$ et $B(i)$. Pour $z\ne 1$ (le cas $z=1$ donne $Z=0$, à traiter à part), $z-1$ et $z-i$ sont les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$, donc :

$$|Z|=\frac{MA}{MB},\arg Z\equiv \left(\widehat{\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}}\right)[2\pi ].$$

(a) $Z$ est réel non nul si et seulement si $\left(\widehat{\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MA}}\right)\equiv 0[\pi ]$, c'est-à-dire si $M$, $A$, $B$ sont alignés. En ajoutant le cas $z=1$ ($Z=0$ est réel, et $A$ est bien sur la droite) : l'ensemble cherché est la droite $(AB)$ privée du point $B$.

(b) $Z$ est imaginaire pur non nul si et seulement si l'angle en $M$ entre $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ est droit : $M$ voit le segment $[AB]$ sous un angle droit. L'ensemble est donc le cercle de diamètre $[AB]$ privé du point $B$ (en $A$, $Z=0$ est imaginaire pur, puisque $\mathrm{Re}(Z)=0$).

Vérification analytique de (b) : avec $z=x+iy$ :

$$Z=\frac{(z-1)\overline{(z-i)}}{|z-i{|}^2},\mathrm{Re}((z-1)(\overline{z}+i))=x^2+y^2-x-y.$$

La condition $\mathrm{Re}(Z)=0$ s'écrit $x^2+y^2-x-y=0$, soit ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$ : c'est bien le cercle de centre $\frac{1+i}{2}$ (milieu de $[AB]$) et de rayon $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{AB}{2}$. ✔