Où sont les racines du trinôme caractéristique ?

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La résolution du second degré dans $\mathbb{C}$, la somme $-\frac{b}{a}$ et le produit $\frac{c}{a}$ des racines, le fait qu'un trinôme réel de discriminant négatif a deux racines conjuguées, et $|z{|}^2=z\overline{z}$.

a) La résolution. Le discriminant vaut $$\Delta =\frac{{\omega }_0^2}{Q^2}-4{\omega }_0^2=\frac{{\omega }_0^2}{Q^2}\left(1-4Q^2\right),$$ du signe de $1-4Q^2$, c'est-à-dire du signe de $\frac{1}{2}-Q$ puisque $Q>0$.

Si $Q<\frac{1}{2}$ : $\Delta >0$, deux racines réelles distinctes, $$r_{\pm }=\frac{{\omega }_0}{2Q}\left(-1\pm \sqrt{1-4Q^2}\right).$$ Si $Q=\frac{1}{2}$ : $\Delta =0$, une racine double, $r=-\frac{{\omega }_0}{2Q}=-{\omega }_0$.

Si $Q>\frac{1}{2}$ : $\Delta <0$, et $\delta =i\frac{{\omega }_0}{Q}\sqrt{4Q^2-1}$ est une racine carrée de $\Delta$ ; deux racines complexes conjuguées, $$r_{\pm }=-\frac{{\omega }_0}{2Q}\pm i\frac{{\omega }_0}{2Q}\sqrt{4Q^2-1}.$$

b) La localisation par la somme et le produit. Notons $r_1$, $r_2$ les racines (éventuellement confondues). Le cours donne $$r_1+r_2=-\frac{{\omega }_0}{Q}<0,r_1{r}_2={\omega }_0^2>0.$$ Si les racines sont réelles : leur produit est strictement positif, elles sont donc non nulles et de même signe ; leur somme est strictement négative, elles sont donc toutes deux strictement négatives.

Si elles ne sont pas réelles : les coefficients de $P$ étant réels et le discriminant négatif, elles sont conjuguées, $r_2=\overline{r_1}$. Alors $r_1+r_2=2\mathrm{Re}(r_1)=-\frac{{\omega }_0}{Q}$, d'où $\mathrm{Re}(r_1)=\mathrm{Re}(r_2)=-\frac{{\omega }_0}{2Q}<0$ ; et $r_1{r}_2=r_1\overline{r_1}=|r_1{|}^2={\omega }_0^2$, d'où $|r_1|=|r_2|={\omega }_0$.

Dans tous les cas, les racines ont une partie réelle strictement négative, et les racines non réelles sont sur le cercle de centre $0$ et de rayon ${\omega }_0$.

Le point délicat. Le b) ne calcule rien : il lit la somme et le produit, et en tire la position des racines. Les expressions explicites cachent l'information — le module ${\omega }_0$ des racines complexes ne se voit pas sur les formules du a).

c) Le lieu des racines. Montrons que $$\mathcal{L}=\left]-\infty ,0\right[\cup \left\{{\omega }_0{e}^{i\theta }:\theta \in \left]\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right[\right\}.$$ Première inclusion. Soit $r$ une racine de $P$ pour un certain $Q>0$. Si elle est réelle, le b) dit qu'elle est strictement négative. Sinon, elle est de module ${\omega }_0$ et de partie réelle strictement négative : $r={\omega }_0{e}^{i\theta }$ avec $\cos \theta <0$, ce qui, quitte à changer $\theta$ d'un multiple de $2\pi$, revient à $\theta \in \left]\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right[$.

Seconde inclusion. Il faut, pour chaque point candidat $r$, trouver un $Q>0$ dont il soit racine. Soit d'abord $r<0$ réel. L'équation $P(r)=0$ s'écrit $\frac{{\omega }_{0}r}{Q}=-\left(r^2+{\omega }_0^2\right)$ ; comme $r\ne 0$, elle se résout en $Q$ : $$P(r)=0⟺Q=\frac{-{\omega }_{0}r}{r^2+{\omega }_0^2},$$ et ce $Q$ est strictement positif puisque $r<0$ : $r\in \mathcal{L}$. Soit ensuite $r={\omega }_0{e}^{i\theta }$ avec $\theta \in \left]\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right[$, de sorte que $\cos \theta <0$. Posons $Q=-\frac{1}{2\cos \theta }>0$ : alors $\frac{{\omega }_0}{Q}=-2{\omega }_0\cos \theta$, et $$P(z)=z^2-2{\omega }_0\cos \theta z+{\omega }_0^2=\left(z-{\omega }_0{e}^{i\theta }\right)\left(z-{\omega }_0{e}^{-i\theta }\right),$$ car la somme de ${\omega }_0{e}^{i\theta }$ et de son conjugué vaut $2{\omega }_0\cos \theta$ et leur produit ${\omega }_0^2$. Donc $r$ est racine : $r\in \mathcal{L}$.

La figure. Le lieu est formé de la demi-droite réelle négative ouverte et du demi-cercle ouvert de gauche, de centre $0$ et de rayon ${\omega }_0$, qui se rencontrent en $-{\omega }_0$. Quand $Q$ croît de $0$ à $\frac{1}{2}$, les deux racines réelles, venues l'une de $-\infty$, l'autre de $0$, se rejoignent en $-{\omega }_0$ ; pour $Q>\frac{1}{2}$, elles quittent l'axe en restant conjuguées et glissent sur le demi-cercle vers $\pm i{\omega }_0$, sans les atteindre.

d) Le régime pseudo-périodique. Pour $Q>\frac{1}{2}$, le a) donne, en faisant entrer $\frac{1}{2Q}$ sous la racine : $$\alpha =\frac{{\omega }_0}{2Q},\omega ={\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}.$$ Comme $1-\frac{1}{4Q^2}<1$, on a $\omega <{\omega }_0$ : la pseudo-pulsation est strictement inférieure à la pulsation propre. On vérifie au passage ${\alpha }^2+{\omega }^2={\omega }_0^2$, ce que le b) annonçait. Quand $Q\to +\infty$, $\alpha \to 0$ et $\omega \to {\omega }_0$ : sans amortissement, on retrouve les racines $\pm i{\omega }_0$ de l'oscillateur harmonique.

Contrôle numérique. Pour ${\omega }_0=1$ et $Q=2$, les racines valent $-0,25\pm 0,968i$, de module $1$. Dix mille tirages de $({\omega }_0,Q)$ confirment la localisation, les expressions de $\alpha$ et $\omega$, et les deux inclusions du c).

Ce que l'exercice installe. La somme et le produit localisent les racines sans les calculer ; un lieu se démontre par double inclusion, et la seconde exige de construire le paramètre, ici $Q$ en fonction de $r$. En physique, ce sont les trois régimes de l'oscillateur amorti — apériodique pour $Q<\frac{1}{2}$, critique pour $Q=\frac{1}{2}$, pseudo-périodique pour $Q>\frac{1}{2}$ — et la partie réelle négative des racines est la raison pour laquelle, dans les trois cas, les solutions de l'équation différentielle tendent vers zéro.