mathématiques (PCSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème — La transformée de Fourier discrète : inversion et égalité de Parseval

Nombres complexes · F. Racines $n$ -ièmes de l'unité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $n \geq 2$ et $ω = e^{2 iπ / n}$ . À toute famille $x = (x_{0}, \dots, x_{n - 1})$ de nombres complexes — par exemple $n$ échantillons d'un signal — on associe les nombres $X_{p} = k = 0 \sum n - 1 x_{k} ω^{- k p} (p \in Z) .$

1) Pour $p \in Z$ , calculer $k = 0 \sum n - 1 ω^{k p}$ (on distinguera selon que $p$ est un multiple de $n$ ou non).

2) Montrer que $X_{p + n} = X_{p}$ pour tout $p \in Z$ , puis établir la formule d'inversion : pour tout $m \in {0, \dots, n - 1}$ , $x_{m} = \frac{1}{n} p = 0 \sum n - 1 X_{p} ω^{m p}$ .

3) Établir l'égalité de Parseval : $p = 0 \sum n - 1 ∣ X_{p} ∣^{2} = n k = 0 \sum n - 1 ∣ x_{k} ∣^{2}$ (écrire $∣ X_{p} ∣^{2} = X_{p} X_{p}$ ). La traduire : la moyenne des $∣ x_{k} ∣^{2}$ est égale à la somme des $\frac{X _{p}}{n}^{2}$ .

4) Exemple. Soient $n \geq 3$ et $m$ un entier tel que $1 \leq m < \frac{n}{2}$ ; on prend $x_{k} = cos \frac{2 π mk}{n}$ . Calculer $X_{p}$ pour $0 \leq p \leq n - 1$ , vérifier l'égalité de Parseval, et en déduire $k = 0 \sum n - 1 cos^{2} \frac{2 π mk}{n} = \frac{n}{2}$ .

5) Repliement. Un signal $t \mapsto cos (2 π ν t)$ , avec $ν > 0$ , est échantillonné aux instants $t_{k} = \frac{k}{f _{e}}$ ( $k \in N$ ), où $f_{e} > 0$ est la fréquence d'échantillonnage. Montrer que les fréquences $ν$ et $ν + f_{e}$ donnent les mêmes échantillons, ainsi que $ν$ et $f_{e} - ν$ lorsque $ν < f_{e}$ .

6) La condition d'échantillonnage. Montrer en revanche que deux fréquences distinctes de $] 0, \frac{f _{e}}{2} [$ donnent des échantillons distincts (regarder l'instant $t_{1}$ ). Pourquoi choisit-on $f_{e} > 2 ν$ ? Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

1) La somme fondamentale. Notons $S (p) = \sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{k p} = \sum_{k = 0}^{n - 1} (ω^{p})^{k}$ : c'est une somme géométrique de raison $ω^{p} = e^{2 iπ p / n}$ . Or $e^{2 iπ p / n} = 1$ si et seulement si $\frac{2 π p}{n} \equiv 0 [2 π]$ , c'est-à-dire si et seulement si $\frac{p}{n}$ est un entier : si et seulement si $p$ est un multiple de $n$ .

Si $p$ est un multiple de $n$ , tous les termes valent $1$ et $S (p) = n$ .

Sinon, $ω^{p} \neq = 1$ , et la formule de la somme géométrique s'applique : $S (p) = \frac{1 - ( ω ^{p} ) ^{n}}{1 - ω ^{p}} = \frac{1 - ( ω ^{n} ) ^{p}}{1 - ω ^{p}} = 0,$ puisque $ω^{n} = 1$ . En résumé : $k = 0 \sum n - 1 ω^{k p} = {n 0 si p est un multiple de n, sinon.$ C'est la propriété d'« orthogonalité » des racines de l'unité : tout le problème en découle.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Montrer que $X_{p + n} = X_{p}$ pour tout $p \in Z$ , puis établir la formule d'inversion : pour tout $m \in {0, \dots, n - 1}$ , $x_{m} = \frac{1}{n} p = 0 \sum n - 1 X_{p} ω^{m p}$ .

Élève

Pour l'inversion, je remplace chaque $X_{p}$ par sa définition dans $\frac{1}{n} \sum_{p} X_{p} ω^{m p}$ . J'obtiens une somme double, et je ne vois pas quoi en faire.

Échange l'ordre des deux sommations, ce qui est licite pour une somme double finie, de façon à faire apparaître, pour chaque $k$ , une somme portant sur $p$ seul. Quelle somme reconnais-tu ?

Élève

Pour chaque $k$ , il reste $x_{k} \sum_{p = 0}^{n - 1} ω^{(m - k) p}$ , c'est-à-dire $x_{k}$ fois la somme du 1) prise en $m - k$ .

C'est ça. Pour quels $k$ cette somme est-elle non nulle ? Et pourquoi le fait que $k$ et $m$ soient tous deux dans ${0, \dots, n - 1}$ est-il indispensable à cette étape ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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