Second degré à coefficients complexes

Nombres complexes · E. Équations algébriques · niveau 2

Énoncé

Résoudre dans $C$ l'équation :

$z^{2} - (3 + i) z + 4 + 3 i = 0.$

Le discriminant vaut :

$Δ = (3 + i)^{2} - 4 (4 + 3 i) = 9 + 6 i - 1 - 16 - 12 i = - 8 - 6 i .$

Cherchons $δ = x + i y$ tel que $δ^{2} = - 8 - 6 i$ :

$x^{2} - y^{2} = - 8, 2 x y = - 6, x^{2} + y^{2} = ∣ - 8 - 6 i ∣ = 10.$

D'où $x^{2} = 1$ , $y^{2} = 9$ , avec $x y < 0$ : $δ = 1 - 3 i$ convient. Les solutions sont :

$z = \frac{( 3 + i ) \pm ( 1 - 3 i )}{2} : z_{1} = 2 - i, z_{2} = 1 + 2 i .$

Contrôle : $z_{1} + z_{2} = 3 + i$ ✔, $z_{1} z_{2} = (2 - i) (1 + 2 i) = 2 + 4 i - i + 2 = 4 + 3 i$ ✔.