mathématiques (PCSI) · Chapitre 3 · Application directe du cours

Somme binomiale trigonométrique

Nombres complexes · C. Trigonométrie : Euler, angle moitié, Moivre · niveau 2

Énoncé

Pour $t \in R$ , calculer $S_{n} (t) = k = 0 \sum n (k n) cos (k t)$ .

$S_{n} (t)$ est la partie réelle d'une somme binomiale :

$k = 0 \sum n (k n) e^{ik t} = (1 + e^{i t})^{n} = (2 cos \frac{t}{2} e^{i t /2})^{n} = 2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} e^{in t /2},$

par la technique de l'angle moitié puis la formule de Moivre. En prenant la partie réelle :

$S_{n} (t) = 2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} cos \frac{n t}{2} .$

(La même méthode donne $\sum_{k = 0}^{n} (k n) sin (k t) = 2^{n} cos^{n} \frac{t}{2} sin \frac{n t}{2}$ .)