Somme des distances aux racines de l'unité

Par la technique de l'angle moitié, pour $t\in [0,2\pi [$ :

$$1-e^{it}=-2i\sin \frac{t}{2}{e}^{it/2},\text{d’ouˋ}\left|1-e^{it}\right|=2\left|\sin \frac{t}{2}\right|=2\sin \frac{t}{2}\left(\text{car }\frac{t}{2}\in [0,\pi [\right).$$

Avec $t=\frac{2k\pi }{n}$ pour $k\in \{0,\dots ,n-1\}$ :

$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}2\sin \frac{k\pi }{n}=2\mathrm{Im}\left(\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{ik\pi /n}\right).$$

Cette dernière somme est géométrique de raison $e^{i\pi /n}\ne 1$, et ${\left(e^{i\pi /n}\right)}^n=e^{i\pi }=-1$ :

$$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{ik\pi /n}=\frac{1-e^{i\pi }}{1-e^{i\pi /n}}=\frac{2}{-2i\sin \frac{\pi }{2n}{e}^{i\pi /2n}}=\frac{i{e}^{-i\pi /2n}}{\sin \frac{\pi }{2n}}=\frac{e^{i\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2n}\right)}}{\sin \frac{\pi }{2n}},$$

en appliquant de nouveau l'angle moitié au dénominateur. La partie imaginaire vaut $\frac{\cos \frac{\pi }{2n}}{\sin \frac{\pi }{2n}}$, d'où :

$$S_n=2\frac{\cos \frac{\pi }{2n}}{\sin \frac{\pi }{2n}}.$$

Contrôles : pour $n=2$, $S_2=|1-1|+|1-(-1)|=2=\frac{2\cos \frac{\pi }{4}}{\sin \frac{\pi }{4}}$ ✔ ; pour $n=4$, $S_4=0+\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}=\frac{2\cos \frac{\pi }{8}}{\sin \frac{\pi }{8}}$ ✔.