Une racine évidente, et tout se déplie

Stratégie : une racine connue abaisse le degré. Le cours établit que si $z_0$ annule un polynôme $P$, alors $P$ se factorise par $z-z_0$. Une équation de degré trois devient donc une équation de degré deux, que l'on sait résoudre — même à coefficients complexes. Tout le travail est de mener proprement la division.

1) Vérification que $i$ est racine. Notons

$$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i.$$

Calculons $P(i)$ en utilisant $i^2=-1$ et $i^3=-i$ :

$$P(i)=-i-(2+i)(-1)+2(1+i)i-2i=-i+2+i+2i+2i^2-2i.$$

Or $2i^2=-2$. En regroupant les termes réels : $2-2=0$ ; et les termes imaginaires : $-i+i+2i-2i=0$. Donc $P(i)=0$ : le nombre $i$ est bien racine.

2) La factorisation. Il existe donc $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ tels que

$$P(z)=(z-i)\left(z^2+\alpha z+\beta \right).$$

Développons le membre de droite :

$$z^3+\alpha z^2+\beta z-i{z}^2-i\alpha z-i\beta =z^3+(\alpha -i)z^2+(\beta -i\alpha )z-i\beta .$$

L'identification des coefficients donne trois équations. Le terme en $z^2$ : $\alpha -i=-(2+i)$, donc $\alpha =-2$. Le terme constant : $-i\beta =-2i$, donc $\beta =2$. Et le terme en $z$ sert de vérification : $\beta -i\alpha =2+2i$, qui est bien le coefficient $2(1+i)$ de l'énoncé. ✔

$$P(z)=(z-i)\left(z^2-2z+2\right).$$

⚠️ Le point délicat est de ne pas sauter la vérification du coefficient restant. Deux des trois équations suffisent à déterminer $\alpha$ et $\beta$ ; la troisième est une contrainte de cohérence. Si elle n'était pas satisfaite, c'est que $i$ n'était pas racine, ou qu'une erreur de calcul s'est glissée. C'est un contrôle gratuit, et il faut le faire.

3) Résolution du second degré. L'équation $z^2-2z+2=0$ a pour discriminant

$$\Delta =4-8=-4.$$

Les racines carrées de $-4$ sont $2i$ et $-2i$, donc

$$z=\frac{2\pm 2i}{2}=1\pm i.$$

Conclusion. L'ensemble des solutions est

$$\mathcal{S}=\left\{i,1+i,1-i\right\}.$$

Contrôle numérique. La somme des trois racines vaut $i+(1+i)+(1-i)=2+i$, et le cours donne que cette somme est l'opposé du coefficient de $z^2$, ici $-(-(2+i))=2+i$. ✔ Le produit vaut $i(1+i)(1-i)=i\times 2=2i$ ; pour un polynôme unitaire de degré trois, le produit des racines est l'opposé du terme constant, ici $-(-2i)=2i$. ✔ Deux contrôles indépendants concordent.

Ce que l'exercice installe. La stratégie complète des équations polynomiales de degré supérieur à deux : on cherche d'abord une racine « évidente » — souvent $0$, $1$, $-1$, $i$, ou une racine suggérée par la forme des coefficients —, on factorise, et l'on recommence. On observe aussi une chose importante : les racines $1+i$ et $1-i$ sont conjuguées, alors que $i$ ne l'est de personne. C'est normal, les coefficients de $P$ ne sont pas tous réels : la propriété « les racines non réelles vont par paires conjuguées » n'est valable que pour les polynômes à coefficients réels.