mathématiques (PCSI) · Chapitre 4 · Application directe du cours

Calculs de dérivées

Calcul différentiel et intégral · B. Dérivation et études de fonctions · niveau 1 (application)

Énoncé

Dériver les fonctions suivantes (sur leur domaine) :

$f_{1} (x) = ln (x + 1 + x^{2}), f_{2} (x) = Arctan (e^{x}), f_{3} (x) = x^{x} (x > 0) .$

Pour $f_{1}$ , par dérivation de composées (et $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ ) :

$f_{1}^{'} (x) = \frac{1 + \frac{x}{1 + x ^{2}}}{x + 1 + x ^{2}} = \frac{\frac{1 + x ^{2} + x}{1 + x ^{2}}}{x + 1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}} .$

Pour $f_{2}$ : $f_{2}^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}}$ . Pour $f_{3}$ , écrire $x^{x} = e^{x l n x}$ :

$f_{3}^{'} (x) = (ln x + 1) e^{x l n x} = (ln x + 1) x^{x} .$