mathématiques (PCSI) · Chapitre 4 · Application directe du cours

Changement de variable

Calcul différentiel et intégral · E. Calcul de primitives et d'intégrales · ★★ niveau 2

Énoncé

Calculer $K={\int }_1^4\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}(1+x)}$ (poser $u=\sqrt{x}$).

Corrigé

Avec $u=\sqrt{x}$, soit $x=u^2$ et $\mathrm{d}x=2u\mathrm{d}u$, les bornes deviennent $1$ et $2$ :

$$K={\int }_1^2\frac{2u\mathrm{d}u}{u(1+u^2)}=2{\int }_1^2\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=2(\mathrm{Arctan}2-\mathrm{Arctan}1)=2\mathrm{Arctan}2-\frac{\pi }{2}.$$