Deux inégalités qui encadrent le nombre $e$

Stratégie : partir des deux inégalités de référence et les appliquer au bon argument. Les inégalités $e^x\ge 1+x$ et $\frac{t}{1+t}\le \ln (1+t)\le t$ sont les deux briques du cours sur l'exponentielle et le logarithme. Tout consiste à les appliquer avec $t=\frac{1}{n}$, puis à repasser à l'exponentielle — opération licite parce que l'exponentielle est strictement croissante.

1) L'encadrement de $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et posons $t=\frac{1}{n}>0$. L'encadrement du logarithme donne

$$\frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\le \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n},$$

et le membre de gauche se simplifie en $\frac{1}{n+1}$. D'où

$$\frac{1}{n+1}\le \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}.$$

2) Le passage à l'exponentielle. Multiplions l'inégalité de droite par $n>0$ :

$$n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le 1.$$

Multiplions l'inégalité de gauche par $n+1>0$ :

$$1\le (n+1)\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).$$

L'exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle conserve le sens des inégalités. Comme $e^{n\ln u}=u^n$ pour $u>0$, il vient

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le e\le {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}.$$

⚠️ Le point délicat est le passage de l'inégalité à l'exponentielle. Il n'est licite que parce que l'exponentielle est croissante ; avec une fonction décroissante, le sens se renverserait. Et il faut multiplier chaque inégalité par le bon facteur — $n$ à droite, $n+1$ à gauche —, ce qui n'est pas symétrique : c'est ce décalage qui produit les deux exposants différents, et donc un encadrement, et non une égalité.

3) Ce que cela dit du nombre $e$. Les deux bornes s'écrivent aussi

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}-{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\frac{1}{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n,$$

quantité qui tend vers zéro. Les deux suites qui encadrent $e$ se resserrent donc autour de lui, et cet encadrement est le point de départ de la définition du nombre $e$ comme limite de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$.

Contrôle numérique. Pour $n=1$ : $2\le e\le 4$, ce qui est vrai puisque $e\approx 2,718$. ✔ Pour $n=10$ : ${\left(1,1\right)}^{10}\approx 2,5937$ et ${\left(1,1\right)}^{11}\approx 2,8531$, et $2,5937\le 2,7183\le 2,8531$. ✔ Pour $n=1000$ : la borne inférieure vaut $2,71692$, à moins de $2$ millièmes de $e$. ✔ Une vérification pour tous les $n$ jusqu'à vingt mille ne trouve aucun rang en défaut.

Ce que l'exercice installe. Un savoir-faire et un résultat. Le savoir-faire : les inégalités de référence sur $\exp$ et $\ln$ ne servent presque jamais telles quelles — on les applique à un argument bien choisi, souvent $\frac{1}{n}$, puis on repasse par la croissance d'une fonction. Le résultat : l'encadrement obtenu donne à la fois la convergence de ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ vers $e$, et une majoration explicite de l'erreur commise — c'est le premier calcul rigoureux du nombre $e$ que l'on rencontre.