EDL1 par variation de la constante

Calcul différentiel et intégral · F. Équations différentielles du premier ordre · niveau 2

Énoncé

Résoudre sur $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ l'équation $y^{'} + (tan x) y = sin (2 x)$ .

Corrigé

Homogène : une primitive de $tan$ est $- ln (cos x)$ (le cosinus est positif sur l'intervalle), donc $y_{h} = C e^{l n c o s x} = C cos x$ .

Variation de la constante : $y = C (x) cos x$ reporté dans l'équation donne $C^{'} (x) cos x = sin 2 x = 2 sin x cos x$ , soit $C^{'} (x) = 2 sin x$ , d'où $C (x) = - 2 cos x$ et $y_{p} = - 2 cos^{2} x$ .

Conclusion : les solutions sont

$y (x) = C cos x - 2 cos^{2} x, C \in R .$

(Vérification de $y_{p}$ : $(- 2 cos^{2} x)^{'} + tan x (- 2 cos^{2} x) = 4 cos x sin x - 2 sin x cos x = sin 2 x$ . ✔)

Énoncé

Corrigé

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