La corde sous le sinus

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La caractérisation des fonctions monotones par le signe de la dérivée sur un intervalle (admise à ce stade), et sa forme stricte : si $f^{\prime }\ge 0$ sur un intervalle et ne s'y annule qu'en un nombre fini de points, $f$ est strictement croissante.

La stratégie. Pour la majoration, on étudie la différence $x-\sin x$. Pour la minoration, les deux membres sont nuls en $0$ et égaux en $\frac{\pi }{2}$ : on étudie plutôt le quotient $\frac{\sin x}{x}$, dont on va montrer qu'il décroît de $1$ à $\frac{2}{\pi }$.

1) La majoration $\sin x\le x$. Posons $u(x)=x-\sin x$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$. Elle est dérivable, et $u^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$, avec égalité seulement en $x=0$ sur cet intervalle. Donc $u$ est strictement croissante, et $u(x)>u(0)=0$ pour $x\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right]$ : $\sin x\le x$, avec égalité seulement en $0$.

2) La minoration $\frac{2}{\pi }x\le \sin x$. Posons $v(x)=\frac{\sin x}{x}$ sur $\left]0,\frac{\pi }{2}\right]$. Elle est dérivable, et $$v^{\prime }(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2},$$ du signe de $w(x)=x\cos x-\sin x$. Ce signe ne se lit pas : $w$ mêle deux termes de tailles inconnues. On l'étudie donc à son tour, sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ : $$w^{\prime }(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x,$$ négatif, et nul seulement en $0$ sur cet intervalle. Donc $w$ est strictement décroissante, et $w(x)<w(0)=0$ pour $x\in \left]0,\frac{\pi }{2}\right]$. Ainsi $v^{\prime }<0$ : le quotient $\frac{\sin x}{x}$ est strictement décroissant sur $\left]0,\frac{\pi }{2}\right]$, et pour tout $x$ de cet intervalle $$\frac{\sin x}{x}\ge v\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\pi /2}=\frac{2}{\pi },$$ avec égalité seulement en $x=\frac{\pi }{2}$. En multipliant par $x>0$ : $\sin x\ge \frac{2}{\pi }x$. En $x=0$, les deux membres sont nuls.

Les cas d'égalité. À droite, seulement en $x=0$. À gauche, en $x=0$ et en $x=\frac{\pi }{2}$, et nulle part ailleurs, par stricte décroissance du quotient.

Le point délicat. Il est double. D'abord, dériver deux fois : le signe de $v^{\prime }$ n'est accessible qu'après l'étude de son numérateur. Ensuite, le choix du quotient : on peut aussi étudier la différence $d(x)=\sin x-\frac{2}{\pi }x$, dont la dérivée $\cos x-\frac{2}{\pi }$ décroît et change de signe une fois ; $d$ croît puis décroît, nulle aux deux extrémités, donc positive. Les deux voies aboutissent ; le quotient dit en plus que $\frac{\sin x}{x}$ diminue régulièrement de $1$ à $\frac{2}{\pi }$.

La figure. Sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, l'arc de sinusoïde est pris en étau entre deux droites issues de l'origine : au-dessus, sa tangente en $0$, la droite $y=x$ ; au-dessous, la corde qui joint l'origine au point $\left(\frac{\pi }{2},1\right)$, la droite $y=\frac{2}{\pi }x$.

Contrôle numérique. En $x=1$ : $0,6366\le 0,8415\le 1$. En $x=\frac{\pi }{4}$ : $0,5\le 0,7071\le 0,7854$. Un balayage fin de l'intervalle confirme l'encadrement et la décroissance du quotient.

Ce que l'exercice installe. La démonstration d'une inégalité par l'étude d'une fonction, et deux réflexes : quand un signe ne se lit pas, on étudie la fonction qui le porte ; quand deux fonctions s'annulent au même point, on pense au quotient. Cette minoration s'appelle l'inégalité de Jordan ; on la relira plus tard comme une propriété de concavité du sinus. En physique, l'approximation des petits angles, $\sin \theta \approx \theta$, utilisée pour le pendule, est encadrée ici : sur un quart de tour, $\sin \theta$ reste entre $\frac{2}{\pi }\theta$ et $\theta$.