La loi de refroidissement de Newton

Stratégie : équation différentielle linéaire du premier ordre, puis identification par les données. L'équation est linéaire à coefficient constant avec second membre constant : on résout l'homogène, on cherche une solution particulière évidente, on ajoute. La condition initiale fixe la constante, et la mesure à dix minutes fixe le paramètre physique.

1) Résolution générale. L'équation s'écrit

$$T^{\prime }=-k\left(T-T_{\text{ext}}\right),\text{soit}{T}^{\prime }+kT=k{T}_{\text{ext}},$$

avec $T_{\text{ext}}=20$ et $k>0$. C'est une équation linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Équation homogène. Ses solutions sont $T_h(t)=C{e}^{-kt}$, avec $C\in \mathbb{R}$.

Solution particulière. La fonction constante $T_p=T_{\text{ext}}=20$ convient : sa dérivée est nulle et $0+20k=20k$. ✔ Physiquement, c'est l'état d'équilibre — le corps à la température de la pièce n'évolue plus.

Solutions générales. Par le théorème de structure,

$$T(t)=20+C{e}^{-kt}.$$

2) La condition initiale. $T(0)=80$ donne $20+C=80$, donc $C=60$ :

$$T(t)=20+60e^{-kt}.$$

3) Détermination de $k$. On sait que $T(10)=50$ :

$$20+60e^{-10k}=50⟹e^{-10k}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}⟹-10k=\ln \frac{1}{2}=-\ln 2,$$

d'où

$$k=\frac{\ln 2}{10}\approx 0,0693{\text{min}}^{-1}.$$

⚠️ Le point délicat est de bien former l'équation avant de prendre le logarithme. Il faut d'abord isoler l'exponentielle — c'est-à-dire soustraire les $20$ degrés de la pièce — car le logarithme ne se distribue pas sur une somme. L'erreur consistant à écrire directement le logarithme de $50$ conduirait à un $k$ dépourvu de sens. La quantité qui décroît exponentiellement n'est pas la température, c'est l'écart à la température ambiante.

4) Le temps pour atteindre $30$ degrés.

$$20+60e^{-kt}=30⟹e^{-kt}=\frac{1}{6}⟹t=\frac{\ln 6}{k}=\frac{10\ln 6}{\ln 2}.$$

Numériquement, $\ln 6\approx 1,79176$ et $\ln 2\approx 0,69315$, donc

$$t\approx 25,85\text{minutes}.$$

Contrôle numérique. Vérifions la valeur de $k$ trouvée en la réinjectant : $T(10)=20+60e^{-0,0693\times 10}=20+60\times 0,5=50$. ✔ Et $T(25,85)=20+60e^{-1,7918}=20+60\times 0,16667=30,00$. ✔ On peut contrôler autrement : la valeur $k=\frac{\ln 2}{10}$ dit que l'écart à la pièce est divisé par deux toutes les dix minutes. Partant d'un écart de $60$ degrés, on passe à $30$ au bout de dix minutes, puis $15$ au bout de vingt, puis $7,5$ au bout de trente. La température de $30$ degrés correspond à un écart de $10$, situé entre $15$ et $7,5$ : le temps cherché est bien entre vingt et trente minutes. ✔

Ce que l'exercice installe. Un modèle qu'on retrouvera partout : la décroissance exponentielle vers un équilibre. Sa signature est que ce n'est pas la grandeur elle-même qui décroît vers zéro, mais son écart à la valeur d'équilibre. Le temps caractéristique $\frac{1}{k}$, ici environ $14,4$ minutes, mesure la rapidité du phénomène, et la décroissance ne s'arrête jamais tout à fait : la température n'atteint la valeur ambiante qu'à la limite, jamais en temps fini.