La résonance, sans puis avec amortissement

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La résolution de l'équation homogène par l'équation caractéristique et le tableau des solutions réelles ; la structure des solutions ; la recherche d'une solution particulière en complexe, avec un facteur $x$ quand $i\omega$ est racine ; l'existence et l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy (admises au second ordre) ; la factorisation de $\cos p-\cos q$.

a) L'homogène. L'équation caractéristique $r^2+{\omega }_0^2=0$ a pour racines $\pm i{\omega }_0$ : les solutions réelles sont les $\lambda \cos ({\omega }_{0}x)+\mu \sin ({\omega }_{0}x)$, $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$.

b) Hors résonance. Pour $y=A\cos (\omega x)$ : $y^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}y=A({\omega }_0^2-{\omega }^2)\cos (\omega x)$, qui vaut $\cos (\omega x)$ pour $A=\frac{1}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$ — possible puisque $\omega \ne {\omega }_0$. Les solutions sont donc les $$y(x)=\frac{\cos (\omega x)}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}+\lambda \cos ({\omega }_{0}x)+\mu \sin ({\omega }_{0}x).$$ Le problème de Cauchy. $y(0)=\frac{1}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}+\lambda =0$ donne $\lambda =-\frac{1}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}$ ; et $y^{\prime }(0)=\mu {\omega }_0=0$ donne $\mu =0$, la dérivée de $\cos (\omega x)$ étant nulle en $0$. D'où $$y(x)=\frac{\cos (\omega x)-\cos ({\omega }_{0}x)}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}.$$ Par la factorisation $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ avec $p=\omega x$ et $q={\omega }_{0}x$, et en changeant le signe du second sinus : $\cos (\omega x)-\cos ({\omega }_{0}x)=2\sin \frac{({\omega }_0+\omega )x}{2}\sin \frac{({\omega }_0-\omega )x}{2}$, ce qui est la forme annoncée.

Les battements. Quand $\omega$ est voisin de ${\omega }_0$, le facteur $\sin \frac{({\omega }_0+\omega )x}{2}$ oscille vite, à une pulsation proche de ${\omega }_0$, tandis que le facteur $\frac{2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \frac{({\omega }_0-\omega )x}{2}$ varie lentement : c'est une enveloppe, d'amplitude maximale $\frac{2}{|{\omega }_0^2-{\omega }^2|}$, dont la valeur absolue a pour période $\frac{2\pi }{|{\omega }_0-\omega |}$. On reconnaît les battements de la séance consacrée aux nombres complexes, et leur amplitude devient d'autant plus grande que $\omega$ s'approche de ${\omega }_0$.

c) La résonance. Une fonction $A\cos ({\omega }_{0}x)+B\sin ({\omega }_{0}x)$ est solution de l'équation homogène : elle donne $0$ au membre de gauche, jamais $\cos ({\omega }_{0}x)$. Il faut chercher autrement : $i{\omega }_0$ est racine de l'équation caractéristique, d'où le facteur $x$. Pour $z=Cx{e}^{i{\omega }_{0}x}$, on trouve $z^{\prime }=C\left(1+i{\omega }_{0}x\right)e^{i{\omega }_{0}x}$ puis $z^{\prime \prime }=C\left(2i{\omega }_0-{\omega }_0^{2}x\right)e^{i{\omega }_{0}x}$, donc $z^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}z=2i{\omega }_{0}C{e}^{i{\omega }_{0}x}$, qui vaut $e^{i{\omega }_{0}x}$ pour $C=\frac{1}{2i{\omega }_0}=-\frac{i}{2{\omega }_0}$. Les coefficients étant réels, la partie réelle de cette solution complexe est une solution réelle de $(E)$ : $$y_p(x)=\mathrm{Re}\left(-\frac{i}{2{\omega }_0}x{e}^{i{\omega }_{0}x}\right)=\frac{x\sin ({\omega }_{0}x)}{2{\omega }_0}.$$ Le problème de Cauchy. $y=y_p+\lambda \cos ({\omega }_{0}x)+\mu \sin ({\omega }_{0}x)$ ; $y(0)=\lambda =0$, et comme $y_p^{\prime }(0)=0$, $y^{\prime }(0)=\mu {\omega }_0=0$ donne $\mu =0$. La solution est $y(x)=\frac{x\sin ({\omega }_{0}x)}{2{\omega }_0}$.

Elle n'est pas bornée. Aux points $x_k=\frac{1}{{\omega }_0}\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{N}$, le sinus vaut $1$ et $y(x_k)=\frac{x_k}{2{\omega }_0}$, qui tend vers $+\infty$ avec $k$ : l'amplitude croît linéairement. C'est la résonance.

Le point délicat. Le passage du b) au c) n'est pas une rupture : pour $x$ fixé, quand $\omega \to {\omega }_0$, la solution du b) tend vers celle du c). En effet, $\frac{2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\sin \frac{({\omega }_0-\omega )x}{2}=\frac{x}{{\omega }_0+\omega }\cdot \frac{\sin h}{h}$ avec $h=\frac{({\omega }_0-\omega )x}{2}$, et $\frac{\sin h}{h}\to 1$ : on obtient $\frac{x}{2{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}x)$. Les battements d'amplitude croissante deviennent, à la limite, une oscillation qui croît sans fin.

d) L'amortissement borne la réponse. L'homogène. L'équation caractéristique $r^2+\frac{{\omega }_0}{Q}r+{\omega }_0^2=0$ est celle dont la séance sur les nombres complexes a localisé les racines : leur partie réelle est strictement négative. Si elles sont réelles, $r_1<0$ et $r_2<0$, les solutions $\lambda e^{r_{1}x}+\mu e^{r_{2}x}$ tendent vers $0$. Si la racine est double, $r=-{\omega }_0$, les solutions $(\lambda +\mu x)e^{-{\omega }_{0}x}$ tendent vers $0$ par croissances comparées. Si elles valent $-\alpha \pm i\beta$ avec $\alpha >0$, les solutions $e^{-\alpha x}\left(\lambda \cos (\beta x)+\mu \sin (\beta x)\right)$ sont majorées en valeur absolue par $(|\lambda |+|\mu |)e^{-\alpha x}$, qui tend vers $0$. Dans tous les cas, les solutions homogènes tendent vers $0$, et elles sont bornées sur $[0,+\infty [$ : par $|\lambda |+|\mu |$ dans le premier et le dernier cas, et par $|\lambda |+\frac{|\mu |}{e{\omega }_0}$ dans le cas double, puisque $x\mapsto x{e}^{-{\omega }_{0}x}$ atteint son maximum $\frac{1}{e{\omega }_0}$ en $\frac{1}{{\omega }_0}$.

La solution particulière. Pour $y_p=\frac{Q}{{\omega }_0^2}\sin ({\omega }_{0}x)$ : $y_p^{\prime }=\frac{Q}{{\omega }_0}\cos ({\omega }_{0}x)$ et $y_p^{\prime \prime }=-Q\sin ({\omega }_{0}x)$, donc $$y_p^{\prime \prime }+\frac{{\omega }_0}{Q}{y}_p^{\prime }+{\omega }_0^2{y}_p=-Q\sin ({\omega }_{0}x)+\cos ({\omega }_{0}x)+Q\sin ({\omega }_{0}x)=\cos ({\omega }_{0}x).$$ La conclusion. Toute solution s'écrit $y_p+y_h$, avec $y_h$ bornée et tendant vers $0$ : elle est bornée, et se rapproche de la sinusoïde $y_p$, d'amplitude $\frac{Q}{{\omega }_0^2}$. La réponse statique, solution constante de $y^{\prime \prime }+\frac{{\omega }_0}{Q}{y}^{\prime }+{\omega }_0^{2}y=1$, vaut $\frac{1}{{\omega }_0^2}$ : à la pulsation propre, l'amplitude est $Q$ fois la réponse statique.

Contrôle numérique. Pour ${\omega }_0=2$ et $\omega =1,9$, l'enveloppe du b) culmine à $\frac{2}{0,39}\approx 5,13$ et la période des battements vaut $\frac{2\pi }{0,1}\approx 62,8$. Un calcul symbolique vérifie les solutions du b), du c) et du d), et la limite de la solution du b) quand $\omega \to {\omega }_0$ ; cinq mille tirages de $({\omega }_0,Q)$ donnent des racines caractéristiques de partie réelle strictement négative.

Ce que l'exercice installe. Quand la pulsation excitatrice est racine de l'équation caractéristique, la solution particulière prend un facteur $x$, et l'amplitude croît sans borne : c'est la résonance, qui vaut pour toute forme de second membre. Un amortissement rejette les racines dans le demi-plan de gauche et borne la réponse. En physique, c'est le critère de stabilité — prévoir le caractère borné des solutions sur l'équation caractéristique — et le rôle du facteur de qualité : plus il est grand, plus la résonance est aiguë, et à la pulsation propre l'amplitude vaut $Q$ fois la réponse statique.