Problème — Les équations fonctionnelles de Cauchy et de d'Alembert

1) Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dérivable, non identiquement nulle, telle que $f(x+y)=f(x)f(y)$ pour tous réels $x,y$. Montrer que $f(0)=1$, que $f$ ne s'annule pas, puis que $f>0$ (écrire $f(x)=f{\left(\frac{x}{2}\right)}^2$).

2) En dérivant la relation par rapport à $y$, puis en prenant $y=0$, montrer que $f^{\prime }=af$ avec $a=f^{\prime }(0)$. En déduire que $f(x)=e^{ax}$ pour tout réel $x$ (unicité de la solution d'un problème de Cauchy), et vérifier la réciproque.

3) Soit $h:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb{R}$ dérivable telle que $h(xy)=h(x)+h(y)$ pour tous $x,y>0$. Montrer que $h(1)=0$ et que $x{h}^{\prime }(x)=h^{\prime }(1)$ pour tout $x>0$. En déduire que $h=a\ln$, avec $a=h^{\prime }(1)$.

4) Soit $\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ de classe ${\mathcal{C}}^2$, non identiquement nulle, telle que $$\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2,\phi (x+y)+\phi (x-y)=2\phi (x)\phi (y)\text{(eˊquation de d’Alembert).}$$ Montrer que si $\phi (0)=0$, alors $\phi$ est impaire (prendre $x=0$) et positive (prendre $x=y$), donc nulle. En déduire que $\phi (0)=1$ et que $\phi$ est paire.

5) En dérivant deux fois la relation par rapport à $y$, puis en prenant $y=0$, montrer que ${\phi }^{\prime \prime }=k\phi$, avec $k={\phi }^{\prime \prime }(0)$. Résoudre ce problème de Cauchy selon que $k=-{\omega }^2$, $k=0$ ou $k={\omega }^2$ (avec $\omega >0$).

6) Vérifier que les fonctions obtenues — dont $\mathrm{ch}$, le cosinus hyperbolique — sont bien solutions. Qu'est-ce qui distingue le comportement des solutions dans le cas $k<0$ et dans le cas $k>0$ ? Rapprocher des équations $x^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}x$ et $x^{\prime \prime }={\omega }^{2}x$, qui décrivent les petits mouvements au voisinage d'une position d'équilibre stable, instable.