mathématiques (PCSI) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Régime transitoire, régime permanent : le filtre RC

Calcul différentiel et intégral · F. Équations différentielles du premier ordre · niveau 2

Énoncé

Un condensateur, en série avec une résistance, est alimenté par une tension $e (t)$ . La tension $u$ aux bornes du condensateur vérifie $(E) τ u^{'} (t) + u (t) = e (t), τ = R C > 0.$

a) On suppose $e (t) = E cos (ω t)$ , avec $E > 0$ et $ω > 0$ . Chercher une solution de l'équation complexe $τ z^{'} + z = E e^{iω t}$ de la forme $z (t) = U e^{iω t}$ , avec $U \in C$ . En déduire une solution réelle de $(E)$ de la forme $u_{p} (t) = E G (ω) cos (ω t + φ (ω))$ , où l'on explicitera $G (ω) > 0$ et $φ (ω) \in] - \frac{π}{2}, 0 [$ .

b) Résoudre $(E)$ . Montrer que pour toute solution $u$ et tout $t \geq 0$ : $∣ u (t) - u_{p} (t) ∣ = ∣ u (0) - u_{p} (0) ∣ e^{- t / τ}$ . Au bout de combien de temps, en multiples de $τ$ , l'écart initial est-il divisé par $100$ ?

c) Étudier $G$ et $φ$ sur $] 0, + \infty [$ (variations, limites en $0$ et en $+ \infty$ ). Déterminer la pulsation $ω_{c}$ telle que $G (ω_{c}) = \frac{1}{2}$ , puis $φ (ω_{c})$ .

d) On prend $e (t) = E cos (\frac{ω _{c} t}{10}) + E cos (10 ω_{c} t)$ . Déterminer le régime permanent (principe de superposition), et donner les deux gains à $1 0^{- 3}$ près. Pourquoi ce montage est-il appelé filtre passe-bas ?

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les solutions de l'équation homogène $y^{'} + a y = 0$ ( $a$ constante) sont les $C e^{- a x}$ ; toute solution est la somme d'une solution particulière et d'une solution homogène ; le principe de superposition ; la dérivée $(e^{iω t})^{'} = iω e^{iω t}$ ; la forme trigonométrique d'un complexe non nul.

La stratégie. On cherche la réponse au signal sinusoïdal en complexe, où dériver revient à multiplier par $iω$ : l'équation différentielle devient une équation du premier degré en $U$ . La partie réelle donne une solution réelle ; la structure des solutions fait le reste.

a) La réponse sinusoïdale. Pour $z (t) = U e^{iω t}$ : $z^{'} (t) = iω U e^{iω t}$ , donc $τ z^{'} + z = (1 + i τ ω) U e^{iω t}$ , qui vaut $E e^{iω t}$ pour tout $t$ si et seulement si $U = \frac{E}{1 + i τ ω} .$ Le retour au réel. Écrivons $z = x + i y$ avec $x$ , $y$ réels. Comme $τ$ et $1$ sont réels, la partie réelle de $τ z^{'} + z$ est $τ x^{'} + x$ , et celle de $E e^{iω t}$ est $E cos (ω t)$ : la partie réelle d'une solution complexe est une solution réelle de $(E)$ .

Le module et l'argument. Le complexe $1 + i τ ω$ a pour module $1 + τ^{2} ω^{2}$ ; ses parties réelle et imaginaire étant strictement positives, un argument $ψ$ en est dans $] 0, \frac{π}{2} [$ , avec $tan ψ = τ ω$ , donc $ψ = Arctan (τ ω)$ . Ainsi $U = E G (ω) e^{i φ (ω)}$ avec $G (ω) = \frac{1}{1 + τ ^{2} ω ^{2}},$ et $φ (ω) = - Arctan (τ ω)$ , qui appartient bien à $] - \frac{π}{2}, 0 [$ ; et $u_{p} (t) = Re (E G e^{i (ω t + φ)}) = E G (ω) cos (ω t + φ (ω))$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Les solutions de l'équation homogène sont les $C e^{- t / τ}$ . Mais pour résoudre $(E)$ avec un second membre en cosinus, faut-il refaire une variation de la constante ?

Inutile : le a) t'a déjà fourni une solution particulière, $u_{p}$ . Si $u$ est une solution quelconque de $(E)$ , quelle équation vérifie la différence $u - u_{p}$ ?

Élève

Par linéarité, $τ (u - u_{p})^{'} + (u - u_{p}) = e - e = 0$ : la différence est solution de l'équation homogène, donc elle est de la forme $C e^{- t / τ}$ .

Comment détermines-tu $C$ à partir des valeurs en $t = 0$ ? Puis, pour la durée, quelle équation en $t$ traduit « l'écart initial est divisé par $100$ », et comment l'exprimes-tu en multiples de $τ$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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