Régime transitoire, régime permanent : le filtre RC

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les solutions de l'équation homogène $y^{\prime }+ay=0$ ($a$ constante) sont les $C{e}^{-ax}$ ; toute solution est la somme d'une solution particulière et d'une solution homogène ; le principe de superposition ; la dérivée ${\left(e^{i\omega t}\right)}^{\prime }=i\omega e^{i\omega t}$ ; la forme trigonométrique d'un complexe non nul.

La stratégie. On cherche la réponse au signal sinusoïdal en complexe, où dériver revient à multiplier par $i\omega$ : l'équation différentielle devient une équation du premier degré en $U$. La partie réelle donne une solution réelle ; la structure des solutions fait le reste.

a) La réponse sinusoïdale. Pour $z(t)=U{e}^{i\omega t}$ : $z^{\prime }(t)=i\omega U{e}^{i\omega t}$, donc $\tau z^{\prime }+z=(1+i\tau \omega )U{e}^{i\omega t}$, qui vaut $E{e}^{i\omega t}$ pour tout $t$ si et seulement si $$U=\frac{E}{1+i\tau \omega }.$$ Le retour au réel. Écrivons $z=x+iy$ avec $x$, $y$ réels. Comme $\tau$ et $1$ sont réels, la partie réelle de $\tau z^{\prime }+z$ est $\tau x^{\prime }+x$, et celle de $E{e}^{i\omega t}$ est $E\cos (\omega t)$ : la partie réelle d'une solution complexe est une solution réelle de $(E)$.

Le module et l'argument. Le complexe $1+i\tau \omega$ a pour module $\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}$ ; ses parties réelle et imaginaire étant strictement positives, un argument $\psi$ en est dans $\left]0,\frac{\pi }{2}\right[$, avec $\tan \psi =\tau \omega$, donc $\psi =\mathrm{Arctan}(\tau \omega )$. Ainsi $U=EG(\omega )e^{i\phi (\omega )}$ avec $$G(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}},$$ et $\phi (\omega )=-\mathrm{Arctan}(\tau \omega )$, qui appartient bien à $\left]-\frac{\pi }{2},0\right[$ ; et $u_p(t)=\mathrm{Re}\left(EG{e}^{i(\omega t+\phi )}\right)=EG(\omega )\cos (\omega t+\phi (\omega ))$.

b) Le transitoire s'éteint. L'équation homogène $\tau u^{\prime }+u=0$, soit $u^{\prime }+\frac{1}{\tau }u=0$, a pour solutions les $C{e}^{-t/\tau }$. Les solutions de $(E)$ sont donc les $u=u_p+C{e}^{-t/\tau }$, $C\in \mathbb{R}$, et $t=0$ donne $C=u(0)-u_p(0)$ : $$u(t)-u_p(t)=(u(0)-u_p(0))e^{-t/\tau },$$ et, en prenant les valeurs absolues, $|u(t)-u_p(t)|=|u(0)-u_p(0)|e^{-t/\tau }$. L'écart est divisé par $100$ quand $e^{-t/\tau }=\frac{1}{100}$, c'est-à-dire au bout de $t=\tau \ln 100\approx 4,6\tau$.

Le point délicat. Toutes les solutions, quelle que soit la condition initiale, se rapprochent exponentiellement de la même : $u_p$. La condition initiale ne vit que dans le terme $C{e}^{-t/\tau }$, qui s'éteint. C'est ce qui justifie de parler du régime permanent sinusoïdal : $u_p$ est la seule solution périodique, car pour $C\ne 0$, $u_p+C{e}^{-t/\tau }$ s'écarte de $u_p$ d'une quantité strictement monotone.

c) Gain et déphasage. La fonction $\omega \mapsto 1+{\tau }^2{\omega }^2$ est strictement croissante et strictement positive sur $]0,+\infty [$, et $s\mapsto \frac{1}{\sqrt{s}}$ est strictement décroissante : par composition, $G$ est strictement décroissante, de limite $1$ en $0$ et $0$ en $+\infty$. L'arc tangente étant strictement croissant, de limite $\frac{\pi }{2}$ en $+\infty$, $\phi$ est strictement décroissante, de $0$ vers $-\frac{\pi }{2}$. Enfin $$G({\omega }_c)=\frac{1}{\sqrt{2}}⟺1+{\tau }^2{\omega }_c^2=2⟺{\omega }_c=\frac{1}{\tau },$$ puisque ${\omega }_c>0$ ; et $\phi ({\omega }_c)=-\mathrm{Arctan}1=-\frac{\pi }{4}$.

d) Deux signaux, deux sorts. Par le principe de superposition, $u_1+u_2$ est solution de $(E)$ pour la somme des seconds membres, où $u_1$ et $u_2$ sont les réponses du a) aux pulsations $\frac{{\omega }_c}{10}$ et $10{\omega }_c$ ; et, comme au b), toute solution en diffère d'un terme $C{e}^{-t/\tau }$ qui s'éteint. Le régime permanent est donc $$u_1(t)+u_2(t)=EG\left(\frac{{\omega }_c}{10}\right)\cos \left(\frac{{\omega }_{c}t}{10}+\phi \left(\frac{{\omega }_c}{10}\right)\right)+EG(10{\omega }_c)\cos (10{\omega }_{c}t+\phi (10{\omega }_c)).$$ Avec $\tau {\omega }_c=1$ : $G\left(\frac{{\omega }_c}{10}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+1/100}}=\frac{10}{\sqrt{101}}\approx 0,995$ et $G(10{\omega }_c)=\frac{1}{\sqrt{101}}\approx 0,0995$, soit $0,100$ à $10^{-3}$ près. Les déphasages valent $-\mathrm{Arctan}(0,1)\approx -0,10$ rad et $-\mathrm{Arctan}(10)\approx -1,47$ rad.

Le filtre passe-bas. La composante lente passe presque intacte, la composante rapide est divisée par dix : le montage laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes. La pulsation ${\omega }_c$ est la frontière : en échelle logarithmique, $20{\log }_{10}G({\omega }_c)=-10{\log }_{10}2\approx -3$, les « moins trois décibels » du diagramme de Bode.

Contrôle numérique. Pour $\tau =1$ ms : ${\omega }_c=1000$ rad/s, soit une fréquence de coupure d'environ $159$ Hz. Les valeurs $G=\frac{1}{\sqrt{1+{\tau }^2{\omega }^2}}$ et $\phi =-\mathrm{Arctan}(\tau \omega )$ sont confirmées symboliquement, et une solution générale vérifiée numériquement satisfait $(E)$ à $10^{-6}$ près.

Ce que l'exercice installe. La structure « solution générale = particulière + homogène » a un sens physique : la partie homogène est le régime transitoire, qui s'éteint en quelques $\tau$ et emporte avec lui la condition initiale ; la partie particulière est le régime permanent, qu'on trouve en complexe. Gain, déphasage, pulsation de coupure et superposition : tout le vocabulaire des filtres du programme de physique est là.