Un arc sinus qui se casse en deux

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les dérivées ${\mathrm{Arcsin}}^{\prime }(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ pour $|u|<1$ et ${\mathrm{Arctan}}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$, la dérivée d'une composée, et la caractérisation des fonctions constantes : sur un intervalle, une fonction de dérivée nulle est constante.

La stratégie. On compare les dérivées de $f$ et de $2\mathrm{Arctan}$, puis on identifie la constante par une valeur. Toute la subtilité est que la dérivée de $f$ change de formule en $x=\pm 1$ : on travaille donc intervalle par intervalle.

Le domaine. Pour tout réel $x$, $(|x|-1{)}^2\ge 0$ donne $1+x^2\ge 2|x|$, donc $\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\le 1$ : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, et l'égalité $\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|=1$ n'a lieu que pour $x=\pm 1$. La fonction $f$ est impaire, comme $x\mapsto \frac{2x}{1+x^2}$ et l'arc sinus.

La dérivée. Posons $u(x)=\frac{2x}{1+x^2}$ ; alors $u^{\prime }(x)=\frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2{)}^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2{)}^2}$, et $$1-u(x{)}^2=\frac{(1+x^2{)}^2-4x^2}{(1+x^2{)}^2}=\frac{{\left(1-x^2\right)}^2}{(1+x^2{)}^2},$$ donc $\sqrt{1-u(x{)}^2}=\frac{\left|1-x^2\right|}{1+x^2}$. Pour $x\ne \pm 1$, $|u(x)|<1$, et la dérivée d'une composée donne $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)}{\sqrt{1-u(x{)}^2}}=\frac{2}{1+x^2}\cdot \frac{1-x^2}{\left|1-x^2\right|}.$$

Le point délicat. Il est dans cette valeur absolue : la racine carrée d'un carré est la valeur absolue, jamais l'expression elle-même. Le dernier facteur vaut $1$ si $|x|<1$ et $-1$ si $|x|>1$ : c'est là, et nulle part ailleurs, que naît le raccord. L'oublier conduirait à une formule unique, fausse pour $|x|>1$.

Sur $]-1,1[$. $f^{\prime }(x)=\frac{2}{1+x^2}$, qui est aussi la dérivée de $2\mathrm{Arctan}$. La différence $f-2\mathrm{Arctan}$ a une dérivée nulle sur cet intervalle : elle y est constante, et vaut $0$ en $x=0$. Donc $f(x)=2\mathrm{Arctan}x$ sur $]-1,1[$ ; et aux bornes, le calcul direct donne $f(1)=\mathrm{Arcsin}1=\frac{\pi }{2}=2\mathrm{Arctan}1$, de même en $-1$. L'égalité vaut sur $[-1,1]$.

Sur $]1,+\infty [$. $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{1+x^2}$ : la fonction $f+2\mathrm{Arctan}$ a une dérivée nulle sur cet intervalle, elle y est constante, égale à $C$. En $x=\sqrt{3}$ : $u(\sqrt{3})=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $f(\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}$, et $2\mathrm{Arctan}\sqrt{3}=\frac{2\pi }{3}$ : d'où $C=\pi$, et $$f(x)=\pi -2\mathrm{Arctan}x(x>1).$$ Par imparité, $f(x)=-\pi -2\mathrm{Arctan}x$ pour $x<-1$.

L'origine du raccord. Posons $\theta =\mathrm{Arctan}x\in \left]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right[$. Comme $\cos \theta >0$ et $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ : $$\sin 2\theta =2\tan \theta {\cos }^2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{2x}{1+x^2}.$$ Donc $f(x)=\mathrm{Arcsin}(\sin 2\theta )$, et l'arc sinus renvoie l'angle de $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ qui a ce sinus. Pour $|x|\le 1$, $2\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ : c'est $2\theta$ lui-même. Pour $x>1$, $2\theta \in \left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$ sort de cet intervalle : l'arc sinus renvoie le supplémentaire $\pi -2\theta$, qui a le même sinus et y appartient. C'est une seconde démonstration, sans dérivée.

Le graphe. $f$ croît de $-\frac{\pi }{2}$ à $\frac{\pi }{2}$ sur $[-1,1]$, puis décroît vers $0$ quand $x\to +\infty$. En $x=1$, le graphe suit à gauche celui de $2\mathrm{Arctan}$, de pente $1$, et à droite celui de $\pi -2\mathrm{Arctan}$, de pente $-1$ : c'est un point anguleux, où $f$ n'est pas dérivable ; de même en $-1$.

Contrôle numérique. En $x=2$ : $f(2)=\mathrm{Arcsin}0,8\approx 0,9273$ et $\pi -2\mathrm{Arctan}2\approx 0,9273$, tandis que $2\mathrm{Arctan}2\approx 2,2143$ est faux. En $x=0,5$ : l'argument vaut encore $0,8$, et $f(0,5)\approx 0,9273=2\mathrm{Arctan}0,5$. Un balayage de $[-50,50]$ confirme les trois formules.

Ce que l'exercice installe. La méthode « même dérivée, même fonction à une constante près » — sur un intervalle : c'est l'hypothèse qu'on ne perd jamais de vue. Et une vigilance durable : les fonctions circulaires réciproques ont un ensemble d'arrivée imposé, et une identité qui les concerne n'est valable que là où les angles y restent.