Une identité d'arctangentes

Posons $f(x)=\mathrm{Arctan}x+\mathrm{Arctan}\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty [$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2+1}=0,$$

donc $f$ est constante sur l'intervalle, égale à $f(1)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$.

Pour la seconde question, posons $S=\mathrm{Arctan}2+\mathrm{Arctan}3$. Chaque terme est dans $\left]\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right[$, donc $S\in \left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$. Par la formule d'addition de la tangente :

$$\tan S=\frac{2+3}{1-2\times 3}=-1,$$

et le seul angle de $\left]\frac{\pi }{2},\pi \right[$ de tangente $-1$ est $\frac{3\pi }{4}$. Donc $\mathrm{Arctan}2+\mathrm{Arctan}3=\frac{3\pi }{4}$.