Exercices corrigés — Nombres réels et suites numériques (mathématiques (PCSI))

25 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

• La borne supérieure d'une somme de parties Exercice de TD
• Bornes supérieure et inférieure Application directe du cours
• Bornes d'une partie dilatée Application directe du cours

B. Limites : définitions, opérations, comparaison

• Une suite définie implicitement Exercice de TD
• Le théorème de Cesàro Exercice de TD
• Calculs de limites Application directe du cours
• Approcher un réel par des rationnels Application directe du cours
• Une suite d'entiers qui converge Application directe du cours
• Une somme dont le nombre de termes varie Application directe du cours

C. Suites monotones et suites adjacentes

• La moyenne arithmético-géométrique Exercice de TD
• Convergence par limite monotone Exercice classique
• Problème : la constante d'Euler, et la somme alternée qui tend vers $\ln 2$ Exercice de TD
• Suites adjacentes Application directe du cours

D. Suites extraites

• Trois suites extraites suffisent Exercice de TD
• Divergence par suites extraites Application directe du cours

E. Suites complexes

• La méthode d'Euler est-elle stable ? Exercice de TD
• Quand une suite géométrique complexe converge Application directe du cours

F. Suites particulières

• Une récurrence qui tourne en rond Exercice de TD
• Le nombre d'or, par une suite qui oscille Exercice de TD
• Une suite qui diverge comme $\sqrt{2n}$ Exercice de TD
• Suite arithmético-géométrique Application directe du cours
• Récurrence linéaire d'ordre 2 Application directe du cours
• Étude complète d'une suite récurrente Application directe du cours
• La formule de Binet Application directe du cours

G. Problèmes et approfondissements

• L'irrationalité de e Application directe du cours

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