Nombres réels et suites numériques

$M=\sup X$ si et seulement si :

• $M$ est un majorant : $\forall x\in X,x\le M$ ;
• aucun réel plus petit n'en est un : $\forall \epsilon >0,\exists x\in X,x>M-\epsilon$.

Caractérisation analogue pour $\inf X$ avec $\forall \epsilon >0,\exists x\in X,x<m+\epsilon$.

Toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.

Conformément au programme, on convient que $\sup X=+\infty$ si $X$ est non majorée (et de même $\inf X=-\infty$ si $X$ n'est pas minorée). Cette convention permet d'énoncer uniformément certains résultats — ainsi, pour toute partie non vide $X$ de $\mathbb{R}$, l'écriture $\sup X$ a toujours un sens, fini ou infini.

• $X=\left\{1-\frac{1}{n}:n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ : $\inf X=\min X=0$ et $\sup X=1$, non atteint. (Pour le voir : $1$ majore $X$, et pour tout $\epsilon >0$, $1-\frac{1}{n}>1-\epsilon$ dès que $n>\frac{1}{\epsilon }$.)
• $X=\{x\in \mathbb{Q}:x^2<2\}$ : $\sup X=\sqrt{2}$. Cette partie de $\mathbb{Q}$, non vide et majorée, n'a pas de borne supérieure dans $\mathbb{Q}$ : la propriété de la borne supérieure est bien une spécificité de $\mathbb{R}$.

Une partie $X$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si :

$$\forall a,b\in X,a\le b⟹[a,b]\subset X,$$

c'est-à-dire si $X$ contient tout réel compris entre deux de ses éléments.

$(u_n)$ est bornée si et seulement si $\left(|u_n|\right)$ est majorée.

Les définitions sont énoncées avec des inégalités larges ($|u_n-\ell |\le \epsilon$), conformément au programme : on vérifie facilement qu'elles sont équivalentes aux versions avec inégalités strictes. La clé de la définition : quelle que soit la précision $\epsilon$ exigée, tous les termes de la suite finissent par approcher $\ell$ à $\epsilon$ près.

Si $(u_n)$ admet une limite (finie ou infinie), celle-ci est unique.

Si $(u_n)$ converge, alors $(u_n)$ est bornée.

Si $u_n\to \ell$ et $v_n\to {\ell }^{\prime }$ (limites finies), alors pour tous scalaires $\lambda ,\mu$ :

$$\lambda u_n+\mu v_n\to \lambda \ell +\mu {\ell }^{\prime },u_n{v}_n\to \ell {\ell }^{\prime },\frac{u_n}{v_n}\to \frac{\ell }{{\ell }^{\prime }}(\text{si }{\ell }^{\prime }\ne 0).$$

Ces règles s'étendent aux limites infinies avec les conventions usuelles ($+\infty +\infty =+\infty$, etc.), sauf pour les formes indéterminées : $+\infty -\infty$, $0\times \infty$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\frac{0}{0}$.

Si $(u_n)$ est bornée et $v_n\to 0$, alors $u_n{v}_n\to 0$.

$\frac{\sin n}{n}\to 0$ : produit de la suite bornée $(\sin n)$ par $\frac{1}{n}\to 0$. Noter que $(\sin n)$ elle-même n'a pas de limite — la règle « produit des limites » ne s'applique pas, celle-ci si.

Si $u_n\le v_n$ à partir d'un certain rang et si les deux suites convergent, alors $\lim u_n\le \lim v_n$.

Si $u_n\to \ell >0$, alors $u_n>0$ à partir d'un certain rang (et même $u_n\ge \frac{\ell }{2}$ à partir d'un certain rang).

• Encadrement (« des gendarmes ») : si $v_n\le u_n\le w_n$ à partir d'un certain rang et si $v_n\to \ell$ et $w_n\to \ell$ (même limite finie), alors $u_n\to \ell$.
• Minoration : si $u_n\ge v_n$ à partir d'un certain rang et $v_n\to +\infty$, alors $u_n\to +\infty$.
• Majoration : si $u_n\le w_n$ à partir d'un certain rang et $w_n\to -\infty$, alors $u_n\to -\infty$.

Montrons que $u_n=\frac{n+\cos n}{n+1}\to 1$ :

$$|u_n-1|=\left|\frac{\cos n-1}{n+1}\right|\le \frac{2}{n+1}\underset{n\to \infty }{\to }0.$$

Pour $q\in \mathbb{R}$ : si $|q|<1$, $q^n\to 0$ ; si $q=1$, $q^n\to 1$ ; si $q>1$, $q^n\to +\infty$ ; si $q\le -1$, $(q^n)$ diverge sans limite. (Pour $q>1$ : $q^n=(1+h{)}^n\ge 1+nh\to +\infty$ avec $h=q-1>0$, par l'inégalité de Bernoulli, conséquence directe du binôme ; pour $|q|<1$, on majore $|q{|}^n$ par l'inverse d'une telle suite.)

Soit $(u_n)$ une suite croissante.

• Si $(u_n)$ est majorée, elle converge, et $\lim u_n=\sup \{u_n:n\in \mathbb{N}\}$.
• Si $(u_n)$ n'est pas majorée, alors $u_n\to +\infty$.

Énoncé analogue pour une suite décroissante (convergence vers l'$\inf$, ou limite $-\infty$). En particulier, toute suite monotone admet une limite, finie ou infinie — et avec la convention $\sup X=+\infty$ pour une partie non majorée, on a dans tous les cas $\lim u_n=\sup \{u_n:n\in \mathbb{N}\}$ pour une suite croissante.

C'est le théorème d'existence : il fournit la convergence sans connaître la limite. Tout repose sur la propriété de la borne supérieure — ce théorème est faux dans $\mathbb{Q}$ (la suite des décimaux approchés de $\sqrt{2}$ est croissante, majorée, à valeurs rationnelles, et sa limite n'est pas dans $\mathbb{Q}$).

La suite $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$ est croissante (on ajoute des termes positifs) et majorée : pour $k\ge 2$, $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$, d'où par télescopage $u_n\le 1+1-\frac{1}{n}\le 2$. Elle converge donc — Euler montrera que sa limite vaut $\frac{{\pi }^2}{6}$, mais la convergence s'obtient sans rien savoir de la limite.

Si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont adjacentes, elles convergent vers la même limite $\ell$, et pour tout $n$ :

$$a_n\le \ell \le b_n.$$

Posons $a_n=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}$ et $b_n=a_n+\frac{1}{n\cdot n!}$ (pour $n\ge 1$). $(a_n)$ est croissante ; un calcul direct donne

$$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{nn!}=\frac{-1}{n(n+1)(n+1)!}<0,$$

donc $(b_n)$ décroît, et $b_n-a_n=\frac{1}{nn!}\to 0$ : les suites sont adjacentes. Leur limite commune est le nombre $e$, et l'encadrement $a_n\le e\le b_n$ est si serré qu'il permet de démontrer que $e$ est irrationnel (exercice 14).

Soient $x\in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$. Le nombre décimal (c'est-à-dire de la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in \mathbb{Z}$)

$$d_n=\frac{\lfloor 10^{n}x\rfloor }{10^n}$$

vérifie $d_n\le x<d_n+10^{-n}$ : c'est la valeur décimale approchée de $x$ à $10^{-n}$ près par défaut, et $d_n+10^{-n}$ est la valeur approchée par excès. La suite $(d_n)$ est croissante et converge vers $x$.

Pour $x=\pi$ : $d_0=3$, $d_1=3,1$, $d_2=3,14$, $d_3=3,141$, … C'est très exactement ce qu'affiche une calculatrice : une suite de décimaux qui approche $\pi$ à $10^{-n}$ près.

Comme les décimaux sont des rationnels, on en déduit un énoncé à retenir : tout réel est limite d'une suite de rationnels. En pratique, pour approcher un réel quelconque par des rationnels, ses valeurs décimales approchées suffisent — c'est exactement ce que fait une calculatrice.

Une récurrence immédiate montre que $\phi (n)\ge n$ pour toute extractrice : une suite extraite « va au moins aussi vite » que la suite initiale.

Si $u_n\to \ell$ (limite finie ou infinie), alors toute suite extraite de $(u_n)$ tend vers $\ell$.

Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $u_n\to \ell$.

Le programme limite l'usage des suites extraites à ce qui précède : définition, transmission de la limite, preuve d'une divergence, recollement des termes pairs et impairs. Tout développement théorique sur les suites extraites est hors programme — en particulier, le théorème de Bolzano-Weierstrass n'est pas au programme de PCSI.

$z_n\to \ell$ si et seulement si $\mathrm{Re}(z_n)\to \mathrm{Re}(\ell )$ et $\mathrm{Im}(z_n)\to \mathrm{Im}(\ell )$.

L'unicité de la limite, le caractère borné des suites convergentes, les opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit, quotient) et la majoration $|z_n-\ell |\le v_n$ avec $v_n\to 0$ s'étendent sans changement aux suites complexes. (Les énoncés faisant intervenir l'ordre — monotonie, encadrement, passage à la limite des inégalités — n'ont en revanche pas d'analogue.)

• Arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$, d'où $u_n=u_0+nr$ et $\sum _{k=0}^n{u}_k=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}$.
• Géométrique de raison $q$ : $u_{n+1}=q{u}_n$, d'où $u_n=u_0{q}^n$ et, pour $q\ne 1$, $\sum _{k=0}^n{u}_k=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Ces formules valent aussi pour des suites complexes ; une suite géométrique complexe $(q^n)$ converge si et seulement si $|q|<1$ (limite $0$) ou $q=1$.

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n+3$. Point fixe : $\omega =\frac{3}{1-1/2}=6$ ; donc $u_n=6-6{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 6$. Aspect quantitatif : l'erreur $|u_n-6|=6\cdot 2^{-n}$ est divisée par deux à chaque étape — convergence géométrique.

Soient $a,b$ des scalaires, $b\ne 0$, et la récurrence

$$u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n.$$

On lui associe l'équation caractéristique $r^2=ar+b$, de racines $r_1,r_2$ (dans $\mathbb{C}$).

• Si $r_1\ne r_2$ : les suites solutions sont exactement les $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$.
• Si $r_1=r_2=r$ : les solutions sont les $u_n=(\lambda +\mu n)r^n$.

Pour une récurrence à coefficients réels et des racines complexes conjuguées $r=\rho e^{\pm i\theta }$, les solutions réelles sont les $u_n={\rho }^n\left(\lambda \cos (n\theta )+\mu \sin (n\theta )\right)$. Dans tous les cas, $(\lambda ,\mu )$ est déterminé par $u_0$ et $u_1$.

L'analogie avec les équations différentielles $y^{\prime \prime }=a{y}^{\prime }+by$ du chapitre précédent est complète : même équation caractéristique, même structure des solutions, $r^n$ jouant le rôle de $e^{rx}$.

$F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Équation caractéristique $r^2=r+1$, de racines $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (le nombre d'or) et ${\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Les conditions initiales donnent la formule de Binet :

$$F_n=\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}}.$$

Comme $|{\phi }^{\prime }|<1$, $F_n$ est l'entier le plus proche de $\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$, et $\frac{F_{n+1}}{F_n}\to \phi$.

Si $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$, si $u_n\to \ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors :

$$f(\ell )=\ell :$$

la limite est nécessairement un point fixe de $f$.

Posons $f(x)=\sqrt{2+x}$.

• Intervalle stable : $f$ est croissante sur $[0,2]$, avec $f(0)=\sqrt{2}$ et $f(2)=2$ : donc $f([0,2])=[\sqrt{2},2]\subset [0,2]$, et la suite reste dans $[0,2]$.
• Points fixes : $\sqrt{2+x}=x⟺x^2-x-2=0$ et $x\ge 0$, soit $x=2$ (l'autre racine $-1$ est exclue).
• Monotonie : $f$ croissante et $u_1=\sqrt{2}>0=u_0$, donc $(u_n)$ est croissante (récurrence : $u_{n+1}\ge u_n\Rightarrow f(u_{n+1})\ge f(u_n)$).
• Conclusion : croissante et majorée par $2$, $(u_n)$ converge ; sa limite est un point fixe de $f$ (continue), donc $u_n\to 2$.

Cette représentation en escalier (dite « en toile d'araignée ») visualise la dynamique : on monte verticalement jusqu'au graphe de $f$, puis horizontalement jusqu'à la première bissectrice, et on recommence. Avec $f$ croissante on obtient un escalier ; avec $f$ décroissante, une spirale qui tourne autour du point fixe.