Calculs de limites

Limites, continuité, dérivabilité · A. Limites de fonctions · niveau 1 (application)

Énoncé

Déterminer les limites suivantes :

$x \to 0 lim \frac{1 + x - 1}{x}, x \to 0 lim x sin \frac{1}{x}, x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} .$

Pour la première, on multiplie par la quantité conjuguée :

$\frac{1 + x - 1}{x} = \frac{( 1 + x ) - 1}{x ( 1 + x + 1 )} = \frac{1}{1 + x + 1} x \to 0 \frac{1}{2} .$

Pour la deuxième : $x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣ \to 0$ (produit d'une fonction bornée par une fonction de limite nulle), donc la limite vaut $0$ .

Pour la troisième, on reconnaît un taux d'accroissement : $\frac{e ^{x} - e ^{0}}{x - 0} \to exp^{'} (0) = 1$ .